【数学建模】——力学模型建立的基本理论及方法

目录

一、基本理论

1. 牛顿力学

1.1 牛顿第一定律（惯性定律）

1.2 牛顿第二定律（动力学定律） 

1.3 牛顿第三定律（作用反作用定律） 

2. 能量守恒定律

2.1 动能和势能 

2.2 能量守恒 

3. 动量守恒定律

3.1 线动量和角动量

3.2 动量守恒

4. 刚体力学

4.1 平动和转动

4.2 刚体的动力学方程

二、基本方法

1. 自由体图

1.1 自由体图的绘制步骤

1.2 实例说明

2. 平衡方程

2.1 力的平衡方程

2.2 力矩的平衡方程 

2.3 实例说明 

3. 运动方程

3.1 牛顿第二定律

 3.2 实例说明

 4. 能量法

4.1 动能和势能

4.2 能量守恒定律

4.3 实例说明

5. 动量法

5.1 线动量和角动量

5.2 动量守恒定律

5.3 实例说明

三、力学模型建立步骤

1. 问题描述

1.1 实例说明

2. 简化和假设

2.1 实例说明

3. 建立坐标系

3.1 实例说明

4. 受力分析

4.1 实例说明

5. 列方程

5.1 实例说明

6. 求解方程

6.1 实例说明

7. 结果验证

7.1 实例说明

四、实例分析

例子：简单摆模型

1. 问题描述

1.1 实例说明

2. 简化和假设

2.1 实例说明

3. 建立坐标系

3.1 实例说明

4. 受力分析

4.1 实例说明

5. 列方程

5.1 实例说明 

6. 求解方程

6.1 实例说明 

7. 结果验证

7.1 实例说明

 图例分析：简单摆模型的摆动运动

1. 问题描述

2. 简化和假设

3. 建立坐标系

4. 受力分析

5. 列方程

6. 求解方程

7. 结果验证

图例解释

具体分析

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 总结

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专栏：数学建模学习笔记

一、基本理论

1. 牛顿力学

牛顿力学是经典力学的基础，由英国科学家艾萨克·牛顿在17世纪提出。它包括牛顿的三大定律，这些定律描述了物体的运动行为及其与施加在其上的力的关系。

1.1 牛顿第一定律（惯性定律）

牛顿第一定律，也称为惯性定律，表明如果一个物体没有受到外力作用，或者它所受的所有外力的合力为零，那么它将保持静止状态或做匀速直线运动。这一定律揭示了物体保持其运动状态的自然倾向，即惯性。

• 实例说明：在光滑的冰面上推一个冰球，如果没有外力阻止它，冰球将继续以恒定速度滑行。这是因为冰球的惯性使它保持原来的运动状态，直到外力（如摩擦力或碰撞）改变这种状态。

• 

1.2 牛顿第二定律（动力学定律） 

1.3 牛顿第三定律（作用反作用定律） 

2. 能量守恒定律

能量守恒定律是物理学中最基本和最重要的定律之一。它指出，在一个孤立系统中，能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，而是从一种形式转化为另一种形式，总能量保持不变。

2.1 动能和势能 

2.2 能量守恒 

• 总能量：系统的总能量是动能和势能的和。在没有外力做功的情况下，总能量保持不变。

• 实例说明：考虑一个摆动的简单摆。在摆的最高点，摆球的速度为零，动能为零，势能最大。当摆球经过最低点时，势能最小，动能最大。能量在动能和势能之间转化，但总能量保持不变。

3. 动量守恒定律

动量守恒定律指出，如果系统不受外力或外力的合力为零，那么系统的总动量保持不变。动量是物体质量和速度的乘积，表示为：p=mv，其中 p 是动量，m 是质量，v 是速度。

3.1 线动量和角动量

• 线动量：线动量是物体由于直线运动而具有的动量。

• 角动量：角动量是物体由于旋转运动而具有的动量。公式为：L=r×p，其中 L 是角动量，r 是位置矢量，p 是线动量。

3.2 动量守恒

• 实例说明：在碰撞或爆炸过程中，如果不考虑外力，系统的总动量保持不变。例如，在弹性碰撞中，两物体碰撞前后的总动量相等。

4. 刚体力学

刚体力学研究刚体在外力作用下的运动规律。刚体是指在外力作用下，形状和体积不发生变化的物体。刚体的运动可以分为平动和转动。

4.1 平动和转动

• 平动：平动是刚体所有点具有相同的速度和加速度的运动。

• 转动：转动是刚体绕固定轴旋转的运动。刚体的转动状态可以用角速度和角加速度来描述。

4.2 刚体的动力学方程

• 平动方程：刚体的平动方程与质点的动力学方程类似，可以用牛顿第二定律描述。

• 转动方程：刚体的转动方程由转动惯量和角加速度描述。公式为：τ=Iα，其中 τ 是力矩，I 是转动惯量，α 是角加速度。

二、基本方法

1. 自由体图

自由体图是力学分析中常用的方法，用于表示物体所受的所有力和力矩。通过绘制自由体图，可以清晰地分析物体的受力情况，并为建立力学方程提供依据。

1.1 自由体图的绘制步骤

1. 选择研究对象：确定需要分析的物体，称为自由体。
2. 隔离物体：将自由体从周围环境中隔离出来，只保留与自由体相关的力。
3. 标出力和力矩：在自由体图上标出所有作用在自由体上的力和力矩，包括重力、支持力、摩擦力、拉力等。
4. 确定坐标系：选择合适的坐标系，通常为直角坐标系，以便于分析力的分解和合成。

1.2 实例说明

• 实例：考虑一个斜面上的滑块。滑块受重力 mg、斜面的支持力 N 和摩擦力 f 作用。绘制自由体图时，将滑块从斜面上隔离出来，标出 mg 的方向（竖直向下），N 的方向（垂直斜面向上），以及 f 的方向（沿斜面向上或向下，取决于摩擦力的方向）。

2. 平衡方程

平衡方程用于分析静止或匀速直线运动的物体。对于静止物体，其受力的合力为零；对于匀速直线运动的物体，其受力的合力也为零。

2.1 力的平衡方程

2.2 力矩的平衡方程 

2.3 实例说明 

3. 运动方程

运动方程用于描述物体的加速度、速度和位移。通过建立运动方程，可以分析物体在受力作用下的运动规律。

3.1 牛顿第二定律

 3.2 实例说明

 4. 能量法

能量法利用能量守恒定律分析系统的能量变化，适用于求解系统的速度、位移等问题。

4.1 动能和势能

• 动能：物体由于运动而具有的能量。
• 势能：物体由于位置或状态而具有的能量。

4.2 能量守恒定律

• 总能量守恒：在没有外力做功的情况下，系统的总能量保持不变。

4.3 实例说明

• 实例：考虑一个从高处滑下的滑块。在滑下过程中，滑块的重力势能转化为动能。利用能量守恒定律，可以计算滑块到达底部时的速度。

5. 动量法

动量法利用动量守恒定律分析碰撞、爆炸等问题，适用于求解系统的速度、质量分布等问题。

5.1 线动量和角动量

• 线动量：物体由于直线运动而具有的动量。
• 角动量：物体由于旋转运动而具有的动量。

5.2 动量守恒定律

• 总动量守恒：在没有外力作用时，系统的总动量保持不变。

5.3 实例说明

• 实例：考虑两物体碰撞后粘在一起的情况。在碰撞过程中，总动量保持不变。通过动量守恒定律，可以计算碰撞后两物体的速度。

三、力学模型建立步骤

1. 问题描述

力学模型的建立首先需要明确研究对象和研究目标。这包括确定需要建立的力学模型的范围和内容，并描述实际问题的背景和具体要求。

1.1 实例说明

• 实例：研究一辆汽车在不同路面条件下的行驶稳定性。研究对象是汽车，研究目标是分析汽车在湿滑路面和干燥路面上的行驶表现。

2. 简化和假设

为了便于建模和求解，通常需要对实际问题进行合理的简化和假设。这包括忽略次要因素，考虑主要因素，以及对物体的形状、质量分布等进行简化。

2.1 实例说明

• 实例：在研究汽车行驶稳定性时，可以假设汽车为刚体，忽略空气阻力和轮胎的细微变形，以简化模型。

3. 建立坐标系

选择合适的坐标系是力学模型建立的基础。常用的坐标系包括直角坐标系和极坐标系。通过建立坐标系，可以方便地描述物体的位置、速度和加速度。

3.1 实例说明

• 实例：在研究汽车行驶稳定性时，可以选择直角坐标系，以便于描述汽车的平移和旋转运动。

4. 受力分析

受力分析是建立力学模型的重要步骤。通过绘制自由体图，标出物体所受的所有外力和力矩，可以清晰地分析物体的受力情况。

4.1 实例说明

• 实例：在研究汽车行驶稳定性时，需要分析汽车受重力、支持力、摩擦力和空气阻力的作用，并绘制相应的自由体图。

5. 列方程

根据力的平衡方程、运动方程、能量守恒方程或动量守恒方程，列出描述系统运动的数学方程。这是求解力学问题的关键步骤。

5.1 实例说明

• 实例：在研究汽车行驶稳定性时，可以根据牛顿第二定律建立运动方程，分析汽车在不同路面条件下的加速度和速度变化。

6. 求解方程

选择合适的数学方法求解方程，如解析法、数值法等，得到物体的运动规律或系统的状态。

6.1 实例说明

• 实例：在研究汽车行驶稳定性时，可以利用数值方法求解运动方程，得到汽车在湿滑路面和干燥路面上的行驶轨迹和稳定性。

7. 结果验证

通过实验数据或实际情况验证模型的正确性，必要时对模型进行修正和改进。验证结果是确保模型准确性和可靠性的关键步骤。

7.1 实例说明

• 实例：在研究汽车行驶稳定性时，可以通过实车测试验证模型的预测结果，并根据测试结果对模型进行修正和改进。

四、实例分析

例子：简单摆模型

1. 问题描述

简单摆模型是研究悬挂在固定点的摆球在重力作用下的摆动运动。研究目标是分析摆球的摆动周期。

1.1 实例说明

• 实例：分析一个长度为1米的摆线悬挂的摆球，计算其摆动周期。

2. 简化和假设

为了便于建模，做以下简化和假设：

• 摆线是不可伸长的。
• 摆球是质点，不考虑其大小和形状。
• 忽略空气阻力和摩擦力。

2.1 实例说明

• 实例：在上述假设下，分析摆球的摆动运动。

3. 建立坐标系

选择极坐标系，固定点为原点，摆球的位置由摆长 L 和摆角 θ 表示。

3.1 实例说明

• 实例：在极坐标系下，摆球的位置可以用极径 L 和极角 θ 描述。

4. 受力分析

摆球受重力 mg 和绳子的张力 T 作用。绘制自由体图，标出重力和张力的方向。

4.1 实例说明

• 实例：在自由体图中，重力 ��mg 垂直向下，张力 �T 沿摆线方向向上。

5. 列方程

根据牛顿第二定律，建立摆球的运动方程。

5.1 实例说明 

6. 求解方程

求解简谐运动方程，得到摆动周期。

 

6.1 实例说明 

7. 结果验证

通过实验测量摆的周期，验证模型的准确性。必要时，考虑空气阻力、绳子伸长等修正因素。

7.1 实例说明

• 实例：通过实际测量摆动周期，验证理论计算的结果。如有偏差，分析原因并进行模型修正。

 图例分析：简单摆模型的摆动运动

1. 问题描述

研究一个悬挂在固定点的简单摆的摆动周期，分析其在小角度摆动情况下的角度随时间的变化。

2. 简化和假设

• 摆线是不可伸长的。
• 摆球是质点，不考虑其大小和形状。
• 忽略空气阻力和摩擦力。
• 初始角度较小，可以使用小角度近似 sin(θ)≈θ。

3. 建立坐标系

选择极坐标系，固定点为原点，摆球的位置由摆长 L 和摆角 �θ 表示。

4. 受力分析

摆球受重力 mg 和绳子的张力 T 作用。

5. 列方程

根据牛顿第二定律，建立摆球的运动方程：

 

6. 求解方程

求解简谐运动方程，得到摆动周期：

7. 结果验证

通过实验测量摆的周期，验证模型的准确性。

图例解释

上图展示了摆球在初始角度为0.2弧度（约11.5度）下的摆动角度随时间的变化情况。时间范围从0秒到10秒，共1000个时间点。图中，横轴表示时间（单位：秒），纵轴表示摆球的摆动角度（单位：弧度）。

根据小角度近似下的简谐运动方程，摆球的角度随时间呈现出简谐振荡的特性，角度变化遵循余弦函数形式。图中的曲线显示了摆球在固定周期内反复摆动的情况。

具体分析

• 周期：摆球的摆动周期可以从图中观察到一个完整的周期。根据理论计算，摆长为1米的摆的周期约为2.01秒。
• 振幅：初始角度为0.2弧度，图中显示的最大摆动角度接近0.2弧度，符合初始条件。
• 运动规律：图中的曲线表现出规律的简谐振荡，验证了小角度近似下的理论模型。

 总结

数学建模中力学模型建立的基本理论和方法，包括牛顿力学、能量守恒定律、动量守恒定律以及刚体力学，介绍了自由体图、平衡方程、运动方程、能量法和动量法等基本方法，并通过具体图例分析了简单摆模型的摆动运动，展示了从问题描述到结果验证的力学模型建立步骤。