目标检测算法之损失函数（IOU、GIOU、DIOU、CIOU、EIOU）

IOU

IOU是衡量俩个目标框之间重叠程度的一个指标，常用于目标检测中，用于评估预测框的准确率。接下来简要介绍一下IOU原理和实现。
假设有俩个框，分别是框$M$和框$N$，记它们的面积为$A_M$和$A_N$。那么它们的IOU为$$IOU(M,N)=\frac{M\cap N}{M\cup N}$$其中$M\cap N$为区域$M$和区域$N$之间的交区域，记为$A_{MN}$，$M\cap N$为区域$M$和区域$N$之间的并区域。那么就有$$IOU(M,N)=\frac{M\cap N}{M\cup N}=\frac{A_{MN}}{A_M+A_N-A_{MN}}$$所以当$A_{MN}=0$（M和N之间不重叠）时有$IOU(M,N)=0$，当$A_{MN}>0$（M和N之间有部分重叠）时有$IOU(M,N)=0$,当且仅当$A_{MN}=A_M=A_N$(区域$M$和区域$N$完全重叠，且它们的面积相等)时有$IOU(M,N)=1$。
直接用IOU来当损失有俩种，一种是$Los{s}_{i}ou=-ln(IOU)$，但实际使用中比较多的是$Los{s}_{i}ou=1-IOU$。
IOU损失的缺点有俩个，第一个是不能描述俩个框之间的距离关系，只能描述重叠面积。第二个是
对于没有交集的框，IoU 的值为 0，这会导致梯度为 0，难以优化。

参考了yolov5的实现，加入eps和xywh的格式，可以使函数更加全面。

def bbox_iou(box1, box2, xywh=True, eps=1e-7):
    if xywh:  # transform from xywh to xyxy
        (x1, y1, w1, h1), (x2, y2, w2, h2) = box1, box2
        w1_, h1_, w2_, h2_ = w1 / 2, h1 / 2, w2 / 2, h2 / 2
        b1_x1, b1_x2, b1_y1, b1_y2 = x1 - w1_, x1 + w1_, y1 - h1_, y1 + h1_
        b2_x1, b2_x2, b2_y1, b2_y2 = x2 - w2_, x2 + w2_, y2 - h2_, y2 + h2_
    else:  # x1, y1, x2, y2 = box1
        b1_x1, b1_y1, b1_x2, b1_y2 = box1
        b2_x1, b2_y1, b2_x2, b2_y2 = box2
        w1, h1 = b1_x2 - b1_x1, b1_y2 - b1_y1 + eps
        w2, h2 = b2_x2 - b2_x1, b2_y2 - b2_y1 + eps
    inter_area = (b1_x2.minimum(b2_x2) - b1_x1.maximum(b2_x1)).clamp_(0) * (b1_y2.minimum(b2_y2) - b1_y1.maximum(b2_y1)).clamp_(0)
    union = w1 * h1 + w2 * h2 - inter_area + eps #防止union为0
    iou = inter_area / union
    return iou

GIOU

GIOU是IOU的改进方式，它在IOU的基础上，考虑了俩个框之间的位置关系，同时也解决了IOU为0时难以优化的问题。GIOU的公式如下$$GIOU(M,N)=IOU(M,N)-\frac{|C-(M\cap N)|}{|C|}$$其中C是指$M$和$N$的最小外接矩阵。
通过引入俩个框最小外接矩阵，当$|M\cap N|=0$时，$GIOU=-1$，这就解决IOU梯度为0的问题。同时这种方式也能考虑到俩个框不相交的部分的关系。
但是GIOU需要计算它们的外接矩形，增加了计算量。同时由于俩个框的外接矩阵随着预测的不同而变动，或导致它很难有稳定的优化效果。

def bbox_giou(box1, box2, xywh=True, eps=1e-7):
    if xywh:  # transform from xywh to xyxy
        (x1, y1, w1, h1), (x2, y2, w2, h2) = box1, box2
        w1_, h1_, w2_, h2_ = w1 / 2, h1 / 2, w2 / 2, h2 / 2
        b1_x1, b1_x2, b1_y1, b1_y2 = x1 - w1_, x1 + w1_, y1 - h1_, y1 + h1_
        b2_x1, b2_x2, b2_y1, b2_y2 = x2 - w2_, x2 + w2_, y2 - h2_, y2 + h2_
    else:  # x1, y1, x2, y2 = box1
        b1_x1, b1_y1, b1_x2, b1_y2 = box1
        b2_x1, b2_y1, b2_x2, b2_y2 = box2
        w1, h1 = b1_x2 - b1_x1, b1_y2 - b1_y1 + eps
        w2, h2 = b2_x2 - b2_x1, b2_y2 - b2_y1 + eps
    inter_area = (b1_x2.minimum(b2_x2) - b1_x1.maximum(b2_x1)).clamp_(0) * (b1_y2.minimum(b2_y2) - b1_y1.maximum(b2_y1)).clamp_(0)
    union = w1 * h1 + w2 * h2 - inter_area + eps #防止union为0
    iou = inter_area / union
    cw = b1_x2.maximum(b2_x2) - b1_x1.minimum(b2_x1)
    ch = b1_y2.maximum(b2_y2) - b1_y1.minimum(b2_y1)
    mini_rectangle = cw * ch + eps #计算最小外接矩形
    return iou-(mini_rectangle-union)/mini_rectangle 

DIOU

DIOU是基于IOU的改进，它通过俩个框的中心点的欧式距离$p$来表示俩个框的，同时借助俩个框的最小外接矩形的对角线来$c$归一化$p$从而有$$DIOU(M,N)=IOU-\frac{p^2}{c^2}$$
DIOU是一个比较好的方法，它考虑框相对位置关系，同时通过这种方式还能很好地衡量这个关系。所以在训练中它的收敛速度比较块， 是许多回归框损失函数不错的一个选择。

def bbox_giou(box1, box2, xywh=True, eps=1e-7):
    if xywh:  # transform from xywh to xyxy
        (x1, y1, w1, h1), (x2, y2, w2, h2) = box1, box2
        w1_, h1_, w2_, h2_ = w1 / 2, h1 / 2, w2 / 2, h2 / 2
        b1_x1, b1_x2, b1_y1, b1_y2 = x1 - w1_, x1 + w1_, y1 - h1_, y1 + h1_
        b2_x1, b2_x2, b2_y1, b2_y2 = x2 - w2_, x2 + w2_, y2 - h2_, y2 + h2_
    else:  # x1, y1, x2, y2 = box1
        b1_x1, b1_y1, b1_x2, b1_y2 = box1
        b2_x1, b2_y1, b2_x2, b2_y2 = box2
        w1, h1 = b1_x2 - b1_x1, b1_y2 - b1_y1 + eps
        w2, h2 = b2_x2 - b2_x1, b2_y2 - b2_y1 + eps
    inter_area = (b1_x2.minimum(b2_x2) - b1_x1.maximum(b2_x1)).clamp_(0) * (b1_y2.minimum(b2_y2) - b1_y1.maximum(b2_y1)).clamp_(0)
    union = w1 * h1 + w2 * h2 - inter_area + eps #防止union为0
    iou = inter_area / union
    cw = b1_x2.maximum(b2_x2) - b1_x1.minimum(b2_x1)
    ch = b1_y2.maximum(b2_y2) - b1_y1.minimum(b2_y1)
    c2 = cw.pow(2) + ch.pow(2) + eps #计算对角线
    rho2 = ((b2_x1 + b2_x2 - b1_x1 - b1_x2).pow(2) + (b2_y1 + b2_y2 - b1_y1 -b1_y2).pow(2)) / 4 #计算俩个中心的距离，这个实现很优雅，2倍的中心差，平方后除4
    return iou-rho2/c2

CIOU

CIOU是在DIOU的基础上考虑了长宽比，许多目标检测任务中，物体的长宽比相对比较固定，那么将它们考虑进损失函数中，理论上是有利于回归框收敛的。CIOU为$$CIOU(M,N)=IOU-\frac{p^2}{c^2}-\alpha v$$
其中$\alpha$为权重参数，具体如下$$\alpha =\frac{v}{(1-IOU)+v}$$在实际中可以给$\alpha$一个固定的值。
其中$v$是指长框比的差。具体如下$$v=\frac{4}{{\pi }^2}{\left(\arctan \frac{w_M}{h_M}-\arctan \frac{w_N}{h_N}\right)}^2$$由于长宽比的范围为$[0,\infty )$，所以使用$\arctan$可以固定到$(0,\frac{\pi }{2})$，而$\frac{4}{{\pi }^2}$就是做了归一化的操作了。

def bbox_giou(box1, box2, xywh=True, eps=1e-7):
    if xywh:  # transform from xywh to xyxy
        (x1, y1, w1, h1), (x2, y2, w2, h2) = box1, box2
        w1_, h1_, w2_, h2_ = w1 / 2, h1 / 2, w2 / 2, h2 / 2
        b1_x1, b1_x2, b1_y1, b1_y2 = x1 - w1_, x1 + w1_, y1 - h1_, y1 + h1_
        b2_x1, b2_x2, b2_y1, b2_y2 = x2 - w2_, x2 + w2_, y2 - h2_, y2 + h2_
    else:  # x1, y1, x2, y2 = box1
        b1_x1, b1_y1, b1_x2, b1_y2 = box1
        b2_x1, b2_y1, b2_x2, b2_y2 = box2
        w1, h1 = b1_x2 - b1_x1, b1_y2 - b1_y1 + eps
        w2, h2 = b2_x2 - b2_x1, b2_y2 - b2_y1 + eps
    inter_area = (b1_x2.minimum(b2_x2) - b1_x1.maximum(b2_x1)).clamp_(0) * (b1_y2.minimum(b2_y2) - b1_y1.maximum(b2_y1)).clamp_(0)
    union = w1 * h1 + w2 * h2 - inter_area + eps #防止union为0
    iou = inter_area / union
    cw = b1_x2.maximum(b2_x2) - b1_x1.minimum(b2_x1)
    ch = b1_y2.maximum(b2_y2) - b1_y1.minimum(b2_y1)
    c2 = cw.pow(2) + ch.pow(2) + eps #计算对角线
    rho2 = ((b2_x1 + b2_x2 - b1_x1 - b1_x2).pow(2) + (b2_y1 + b2_y2 - b1_y1 -b1_y2).pow(2)) / 4 #计算俩个中心的距离，这个实现很优雅，2倍的中心差，平方后除4
    v = (4 / math.pi**2) * ((w2 / h2).atan() - (w1 / h1).atan()).pow(2)#计算v
    alpha = v / (v - iou + (1 + eps)) #计算a
    return iou-rho2/c2-v*alpha

EIOU

EIOU是将长宽比改成了长长比和宽宽比，学习了中心点距离的方式。具体如下$$EIOU(M,N)=IOU-\frac{p(b_M,b_N{)}^2}{c^2}-\frac{p(w_M,w_N{)}^2}{c_w^2}-\frac{p(h_M,h_N{)}^2}{c_h^2}$$EIOU的计算会比CIOU更直接一点， 对长宽的约束更加的明显。

def bbox_giou(box1, box2, xywh=True, eps=1e-7):
    if xywh:  # transform from xywh to xyxy
        (x1, y1, w1, h1), (x2, y2, w2, h2) = box1, box2
        w1_, h1_, w2_, h2_ = w1 / 2, h1 / 2, w2 / 2, h2 / 2
        b1_x1, b1_x2, b1_y1, b1_y2 = x1 - w1_, x1 + w1_, y1 - h1_, y1 + h1_
        b2_x1, b2_x2, b2_y1, b2_y2 = x2 - w2_, x2 + w2_, y2 - h2_, y2 + h2_
    else:  # x1, y1, x2, y2 = box1
        b1_x1, b1_y1, b1_x2, b1_y2 = box1
        b2_x1, b2_y1, b2_x2, b2_y2 = box2
        w1, h1 = b1_x2 - b1_x1, b1_y2 - b1_y1 + eps
        w2, h2 = b2_x2 - b2_x1, b2_y2 - b2_y1 + eps
    inter_area = (b1_x2.minimum(b2_x2) - b1_x1.maximum(b2_x1)).clamp_(0) * (b1_y2.minimum(b2_y2) - b1_y1.maximum(b2_y1)).clamp_(0)
    union = w1 * h1 + w2 * h2 - inter_area + eps #防止union为0
    iou = inter_area / union
    cw = b1_x2.maximum(b2_x2) - b1_x1.minimum(b2_x1)
    ch = b1_y2.maximum(b2_y2) - b1_y1.minimum(b2_y1)
    c2 = cw.pow(2) + ch.pow(2) + eps #计算对角线
    rho2 = ((b2_x1 + b2_x2 - b1_x1 - b1_x2).pow(2) + (b2_y1 + b2_y2 - b1_y1 -b1_y2).pow(2)) / 4 #计算俩个中心的距离，这个实现很优雅，2倍的中心差，平方后除4
    rhow = (w1-w2).pow(2)/(cw.pow(2)+eps)
    rhoh = (h1-h2).pow(2)/(ch.pow(2)+eps)
    return iou-rho2/c2-rhow-rhoh