例4：证明，如果σ=(i1 i2 … ik)是Sn中的一个k-循环，而r∈Sn，则rσr^(-1)也是一个k-循环，且rσr^(-1)=(r(i1),r(i2),…,r(ik))。
证：①设σ=(i1 i2 … ik)=(i1 ik)(i1 ik-1)…(i1 i2)，
则rσr^(-1)=r(i1 i2 … ik)r^(-1)=r(i1 ik)(i1 ik-1)…(i1 i2)r^(-1)=r(i1 ik)[r^(-1)r](i1 ik-1)[r^(-1)r]…[r^(-1)r](i1 i2)r^(-1)=[r(i1 ik)r^(-1)][r(i1 ik-1)r^(-1)]…[r(i1 i2)r^(-1)]；
②在上述①中，任取一个r(is it)r^(-1) = v，两边右乘r，可得r(is it) = vr，而r显然是双射，所以r(i1),r(i2),...,r(ik)互不相同，先考察它们在v下的像：
因为r(it) = r(is it)(is) = v[r(is)]，r(is) = r(is it)(it) = vr(it)，所以v把r(is)变为r(it)，把r(it)变为r(is)，
对任意不等于is,it的ip，有r(ip) = r(is it)(ik) = vr(ik)，也就是把r(ik)变为r(ik)，
因此，置换v把{r(i1),r(i2),...,r(ik)}中的r(is)与r(it)对换，其它变为原数，即v = (r(is) r(it))。
所以①中的rσr^(-1) = [r(i1) r(ik)]...[(i1) r(i3)][(i1) r(i2)] = (r(i1) r(i2) r(i3) ... r(ik))，
命题得证。
上述分析表明了rσr^(-1)的性质：
①若σ = (is it)，则rσr^(-1) = (r(is) r(it))；
②若σ = (i1 i2 … ik)，则rσr^(-1) = (r(i1) r(i2) r(i3) ... r(ik))；
③若σ = (i1 i2 … ik)(j1 j2 ... jl)(z1 z2 ... zm)，则rσr^(-1) = [r(i1) r(i2) r(i3) ... r(ik)][r(j1) r(j2) r(j3) ... r(jl)][r(z1) r(z2) r(z3) ... r(zm)]。
引理：
欧拉函数Φ(n)定义为：小于n，且与n互素的非负整数的个数。
例1：（1）求Φ(4),Φ(12),Φ(18),Φ(13),Φ(24),Φ(36),Φ(5),Φ(7)；
（2）写出欧拉函数的一条性质。
解：（1）①小于4且与4互素的非负整数有1和3两个，因此Φ(4) = 2；
②小于12且与12互素的非负整数有1、5、7、11四个，所以Φ(12) = 4；
③小于18且与18互素的非负整数有1、5、7、11、13、17六个，所以Φ(18) = 6；
④小于13且与13互素的非负整数有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12共十二个，所以Φ(13) = 12；
⑤小于24且与24互素的非负整数有1、5、7、11、13、17、19、23共8个，所以Φ(24) = 8；
⑥小于36且与36互素的非负整数有1、5、7、11、13、17、19、23、25、29、31、35共十二个，所以Φ(36) = 12；
⑦小于5且与5互素的非负整数有1、2、3、4共四个，所以Φ(5) = 4；
⑧小于7且与7互素的非负整数有1、2、3、4、5、6共六个，所以Φ(7) = 6。
【注：1与任意数互素】
（2）欧拉函数的一条重要性质：当n为素数是，Φ(n) = n-1。
定义1：设G是一个群，a∈G，若对任意b∈G，都存在整数m，使得b = a^m = a o a o ... o a(m个a)，则称群G为一个循环群，且称a为群(G,o)的生成元，记为G = (a)。
【注：上述的生成元a可能等于0，因此a^0 = e(单位元)，不能写成a^0 = 1。】
例2：A3 = {(1),(123),(132)}是S3中所有偶置换组成的集合，证A3关于变换的乘法作成一个循环群，但S3并不是一个循环群。
证：（1）首先证明A3是一个群：
①因为任意两个偶置换相乘还是偶置换，所以满足了群公理的第一条封闭性；
②变换的乘法适合结合律，所以也满足了群公理的第二条；
③对于(1)∈A3，任意的f∈A3，都有(1) o f = f o (1) = f，因此(1)为A3中的单位元，所以也满足了群公理的第四条；
④因为(123)(132) = (132)(123) = (1)，因此(123)和(132)互为逆元，(1)的逆元则是它本身，所以A3中每一个元素都存在对应的逆元，所以也满足了群公理的第五条。
综上，根据群的第二判定定理，可以得出A3关于变换的乘法作成群。
（2）再证A3是一个循环群：
对于(123)∈A3，由于(123)^1 = (123)∈A3，(123)^2 = (132)∈A3，(123)^3 = (1)∈A3，所以A3中任意的元素都可以由(123)生成，所以A3是一个循环群，其生成元为(123)，记为A3 = ((123))。
（3）最后证S3不是循环群：
因为在S3中找不到生成元a，能够满足对任意的b∈S3，都存在整数m，使得a^m = b，因此S3不是循环群。
补充：
①(132)也是A3的生成元；
②A3刻画的是等边三角形的旋转对称性；
③一般地，An关于变换的乘法作成的群，叫做“n次交错群”。
（待续……）