深度学习 - RNN训练过程推演

1. 数据准备

字符序列 “hello” 转换为 one-hot 编码表示：

• 输入: [‘h’, ‘e’, ‘l’, ‘l’]
• 输出: [‘e’, ‘l’, ‘l’, ‘o’]

2. 初始化参数

我们使用一个单层的 RNN（N VS N），隐藏层大小为2，每次传1个字符。初始参数如下：

W x h = ( 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ) , W h h = ( 0.1 0.2 0.3 0.4 ) , W h y = ( 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ) W_{xh} =

, \quad W_{hh} = , \quad W_{hy} = Wxh​= ​0.10.30.50.7​0.20.40.60.8​ ​,Whh​=(0.10.3​0.20.4​),Why​=(0.10.5​0.20.6​0.30.7​0.40.8​)

偏置项初始化为0。

3. 前向传播和反向传播

时间步 1（输入 ‘h’）：

输入向量 $x_1=[1,0,0,0]$

h 1 = tanh ⁡ ( W x h x 1 + W h h h 0 ) = tanh ⁡ ( ( 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ) ( 1 0 0 0 ) + ( 0.1 0.2 0.3 0.4 ) ( 0 0 ) ) = tanh ⁡ ( ( 0.1 0.3 ) ) = ( 0.0997 0.2913 ) h_1 = \tanh(W_{xh} x_1 + W_{hh} h_0) = \tanh \left(

+ \right) = \tanh \left( \right) = h1​=tanh(Wxh​x1​+Whh​h0​)=tanh ​ ​0.10.30.50.7​0.20.40.60.8​ ​ ​1000​ ​+(0.10.3​0.20.4​)(00​) ​=tanh((0.10.3​))=(0.09970.2913​)

y 1 = W h y h 1 = ( 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ) ( 0.0997 0.2913 ) = ( 0.1695 0.3889 0.6083 0.8277 ) y_1 = W_{hy} h_1 =

= y1​=Why​h1​=(0.10.5​0.20.6​0.30.7​0.40.8​)(0.09970.2913​)= ​0.16950.38890.60830.8277​ ​

预测值 ${\hat{y}}_1=\text{softmax}(y_1)$

假设真实输出为 ‘e’，对应 one-hot 编码为 $y_1=[0,1,0,0]$。

交叉熵损失函数：

$${\text{loss}}_1=-\sum _i{y}_{1i}\log ({\hat{y}}_{1i})$$

梯度计算：

$$\frac{\partial {\text{loss}}_1}{\partial W_{hy}}=({\hat{y}}_1-y_1)h_1^T$$

$$\frac{\partial {\text{loss}}_1}{\partial W_{xh}}=\frac{\partial {\text{loss}}_1}{\partial h_1}\cdot \frac{\partial h_1}{\partial W_{xh}}$$

$$\frac{\partial {\text{loss}}_1}{\partial W_{hh}}=\frac{\partial {\text{loss}}_1}{\partial h_1}\cdot \frac{\partial h_1}{\partial W_{hh}}$$

参数更新：

$$W_{xh}=W_{xh}-\eta \frac{\partial {\text{loss}}_1}{\partial W_{xh}}$$

$$W_{hh}=W_{hh}-\eta \frac{\partial {\text{loss}}_1}{\partial W_{hh}}$$

$$W_{hy}=W_{hy}-\eta \frac{\partial {\text{loss}}_1}{\partial W_{hy}}$$

时间步 2（输入 ‘e’）：

使用更新后的 $W_{xh}$、$W_{hh}$ 和 $W_{hy}$ 参数。

输入向量 $x_2=[0,1,0,0]$

h 2 = tanh ⁡ ( W x h x 2 + W h h h 1 ) = tanh ⁡ ( ( 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ) ( 0 1 0 0 ) + ( 0.1 0.2 0.3 0.4 ) ( 0.0997 0.2913 ) ) h_2 = \tanh(W_{xh} x_2 + W_{hh} h_1) = \tanh \left(

+ \right) h2​=tanh(Wxh​x2​+Whh​h1​)=tanh ​ ​0.10.30.50.7​0.20.40.60.8​ ​ ​0100​ ​+(0.10.3​0.20.4​)(0.09970.2913​) ​

计算后得：

h 2 = tanh ⁡ ( ( 0.3 0.7 ) + ( 0.1283 0.2147 ) ) = tanh ⁡ ( ( 0.4283 0.9147 ) ) h_2 = \tanh \left(

+ \right) = \tanh \left( \right) h2​=tanh((0.30.7​)+(0.12830.2147​))=tanh((0.42830.9147​))

$$y_2=W_{hy}{h}_2$$

预测值 ${\hat{y}}_2=\text{softmax}(y_2)$

假设真实输出为 ‘l’，对应 one-hot 编码为 $y_2=[0,0,1,0]$。

交叉熵损失函数：

$${\text{loss}}_2=-\sum _i{y}_{2i}\log ({\hat{y}}_{2i})$$

梯度计算：

$$\frac{\partial {\text{loss}}_2}{\partial W_{hy}}=({\hat{y}}_2-y_2)h_2^T$$

$$\frac{\partial {\text{loss}}_2}{\partial W_{xh}}=\frac{\partial {\text{loss}}_2}{\partial h_2}\cdot \frac{\partial h_2}{\partial W_{xh}}$$

$$\frac{\partial {\text{loss}}_2}{\partial W_{hh}}=\frac{\partial {\text{loss}}_2}{\partial h_2}\cdot \frac{\partial h_2}{\partial W_{hh}}$$

参数更新：

$$W_{xh}=W_{xh}-\eta \frac{\partial {\text{loss}}_2}{\partial W_{xh}}$$

$$W_{hh}=W_{hh}-\eta \frac{\partial {\text{loss}}_2}{\partial W_{hh}}$$

$$W_{hy}=W_{hy}-\eta \frac{\partial {\text{loss}}_2}{\partial W_{hy}}$$

时间步 3（输入 ‘l’）：

使用更新后的 $W_{xh}$、$W_{hh}$ 和 $W_{hy}$ 参数。

输入向量 $x_3=[0,0,1,0]$

$$h_3=\tanh (W_{xh}{x}_3+W_{hh}{h}_2)$$

计算后得：

h 3 = tanh ⁡ ( ( 0.5 1.2 ) + W h h h 2 ) h_3 = \tanh \left(

+ W_{hh} h_2 \right) h3​=tanh((0.51.2​)+Whh​h2​)

$$y_3=W_{hy}{h}_3$$

预测值 ${\hat{y}}_3=\text{softmax}(y_3)$

假设真实输出为 ‘l’，对应 one-hot 编码为 $y_3=[0,0,1,0]$。

交叉熵损失函数：

$$
\text{loss}3 = - \sum{i} y_{3i} \log(\hat{y}_{3

i})
$$

梯度计算：

$$\frac{\partial {\text{loss}}_3}{\partial W_{hy}}=({\hat{y}}_3-y_3)h_3^T$$

$$\frac{\partial {\text{loss}}_3}{\partial W_{xh}}=\frac{\partial {\text{loss}}_3}{\partial h_3}\cdot \frac{\partial h_3}{\partial W_{xh}}$$

$$\frac{\partial {\text{loss}}_3}{\partial W_{hh}}=\frac{\partial {\text{loss}}_3}{\partial h_3}\cdot \frac{\partial h_3}{\partial W_{hh}}$$

参数更新：

$$W_{xh}=W_{xh}-\eta \frac{\partial {\text{loss}}_3}{\partial W_{xh}}$$

$$W_{hh}=W_{hh}-\eta \frac{\partial {\text{loss}}_3}{\partial W_{hh}}$$

$$W_{hy}=W_{hy}-\eta \frac{\partial {\text{loss}}_3}{\partial W_{hy}}$$

时间步 4（输入 ‘l’）：

使用更新后的 $W_{xh}$、$W_{hh}$ 和 $W_{hy}$ 参数。

输入向量 $x_4=[0,0,1,0]$

$$h_4=\tanh (W_{xh}{x}_4+W_{hh}{h}_3)$$

计算后得：

h 4 = tanh ⁡ ( ( 0.5 1.2 ) + W h h h 3 ) h_4 = \tanh \left(

+ W_{hh} h_3 \right) h4​=tanh((0.51.2​)+Whh​h3​)

$$y_4=W_{hy}{h}_4$$

预测值 ${\hat{y}}_4=\text{softmax}(y_4)$

假设真实输出为 ‘o’，对应 one-hot 编码为 $y_4=[0,0,0,1]$。

交叉熵损失函数：

$${\text{loss}}_4=-\sum _i{y}_{4i}\log ({\hat{y}}_{4i})$$

梯度计算：

$$\frac{\partial {\text{loss}}_4}{\partial W_{hy}}=({\hat{y}}_4-y_4)h_4^T$$

$$\frac{\partial {\text{loss}}_4}{\partial W_{xh}}=\frac{\partial {\text{loss}}_4}{\partial h_4}\cdot \frac{\partial h_4}{\partial W_{xh}}$$

$$\frac{\partial {\text{loss}}_4}{\partial W_{hh}}=\frac{\partial {\text{loss}}_4}{\partial h_4}\cdot \frac{\partial h_4}{\partial W_{hh}}$$

参数更新：

$$W_{xh}=W_{xh}-\eta \frac{\partial {\text{loss}}_4}{\partial W_{xh}}$$

$$W_{hh}=W_{hh}-\eta \frac{\partial {\text{loss}}_4}{\partial W_{hh}}$$

$$W_{hy}=W_{hy}-\eta \frac{\partial {\text{loss}}_4}{\partial W_{hy}}$$

4.代码实现

下面是一个使用 PyTorch 实现简单 RNN（循环神经网络）的示例代码，该代码将字符序列作为输入并预测下一个字符。我们将使用一个小的字符集进行演示。

安装 PyTorch

在开始之前，请确保您已安装 PyTorch。您可以使用以下命令进行安装：

pip install torch

RNN 实现示例

我们将实现一个字符级 RNN，用于从序列 “hello” 中预测下一个字符。字符集为 {‘h’, ‘e’, ‘l’, ‘o’}。

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import numpy as np

# 定义字符集和字符到索引的映射
chars = ['h', 'e', 'l', 'o']
char_to_idx = {ch: idx for idx, ch in enumerate(chars)}
idx_to_char = {idx: ch for idx, ch in enumerate(chars)}

# 超参数
input_size = len(chars)
hidden_size = 10
output_size = len(chars)
num_layers = 1
learning_rate = 0.01
num_epochs = 100

# 准备数据
def char_to_tensor(char):
    tensor = torch.zeros(input_size)
    tensor[char_to_idx[char]] = 1.0
    return tensor

def string_to_tensor(string):
    tensor = torch.zeros(len(string), input_size)
    for idx, char in enumerate(string):
        tensor[idx][char_to_idx[char]] = 1.0
    return tensor

input_seq = "hell"
target_seq = "ello"

input_tensor = string_to_tensor(input_seq)
target_tensor = torch.tensor([char_to_idx[ch] for ch in target_seq])

# 定义 RNN 模型
class RNN(nn.Module):
    def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size):
        super(RNN, self).__init__()
        self.hidden_size = hidden_size
        self.rnn = nn.RNN(input_size, hidden_size, num_layers, batch_first=True)
        self.fc = nn.Linear(hidden_size, output_size)

    def forward(self, x, hidden):
        out, hidden = self.rnn(x, hidden)
        out = self.fc(out[:, -1, :])
        return out, hidden

    def init_hidden(self):
        return torch.zeros(num_layers, 1, hidden_size)

# 初始化模型、损失函数和优化器
model = RNN(input_size, hidden_size, output_size)
criterion = nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=learning_rate)

# 训练模型
for epoch in range(num_epochs):
    hidden = model.init_hidden()
    model.zero_grad()
    
    input_seq = input_tensor.unsqueeze(0)
    output, hidden = model(input_seq, hidden)
    
    loss = criterion(output, target_tensor.unsqueeze(0))
    loss.backward()
    optimizer.step()
    
    if (epoch + 1) % 10 == 0:
        print(f'Epoch [{epoch + 1}/{num_epochs}], Loss: {loss.item():.4f}')

# 测试模型
def predict(model, char, hidden=None):
    if hidden is None:
        hidden = model.init_hidden()
    input_tensor = char_to_tensor(char).unsqueeze(0).unsqueeze(0)
    output, hidden = model(input_tensor, hidden)
    _, predicted_idx = torch.max(output, 1)
    return idx_to_char[predicted_idx.item()], hidden

hidden = model.init_hidden()
input_char = 'h'
predicted_seq = input_char
for _ in range(len(input_seq)):
    next_char, hidden = predict(model, input_char, hidden)
    predicted_seq += next_char
    input_char = next_char

print(f'Predicted sequence: {predicted_seq}')

代码说明

1. 数据准备：

   • 我们定义了一个简单的字符集 {‘h’, ‘e’, ‘l’, ‘o’}，并创建了字符到索引和索引到字符的映射。
   • char_to_tensor 函数将字符转换为 one-hot 向量。
   • string_to_tensor 函数将字符串转换为一系列 one-hot 向量。

2. 定义 RNN 模型：

   • RNN 类继承自 nn.Module，包含一个 RNN 层和一个全连接层。
   • forward 方法执行前向传播。
   • init_hidden 方法初始化隐藏状态。

3. 训练模型：

   • 我们使用交叉熵损失函数和 Adam 优化器。
   • 在每个训练周期，我们进行前向传播、计算损失、反向传播和参数更新。

4. 测试模型：

   • predict 函数根据给定的输入字符生成下一个字符。
   • 我们使用训练好的模型从字符 ‘h’ 开始生成一个字符序列。

运行该代码后，您将看到模型预测的字符序列，它会逐渐学会从输入序列中预测下一个字符。

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