高等代数复习：同构定理

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

同构定理

接下来我们要证明如下几个同构定理
定理（线性映射同构定理）
设 $\phi ：V\to V^{\prime }$ 是一个线性映射，则存在一个自然的线性同构
$$V/\ker \phi \cong \mathrm{Im}\phi$$
定理（群同态基本定理）
设 $\sigma :G\to G^{\prime }$ 是一个群同态，则存在一个自然的群同构
$$G/\ker \sigma \cong \mathrm{Im}\sigma$$
定理（环同态基本定理）
设 $\sigma :R\to R^{\prime }$ 是一个环同态，则存在一个自然的环同构
$$R/\ker \sigma \cong \mathrm{Im}\sigma$$
定理（模同态基本定理）
设 $\sigma :M\to M^{\prime }$ 是一个模同态，则存在一个自然的模同构
$$M/\ker \sigma \cong \mathrm{Im}\sigma$$

这些定理涉及到的概念可以简述如下，首先是关于各类代数结构的概念

1. 群（group）：一个定义了加法的集合，具有结合律，单位元，逆元
2. 环（ring）：一个定义了加法和乘法的集合，关于加法是一个群，关于乘法具有结合律和单位元，乘法对加法还有左、右分配律
3. 线性空间（linear space or vector space）：一个定义了数乘的abel群（即具有交换律的群），数乘定义为从数域和线性空间的笛卡尔积映到该线性空间的映射，其具有结合律，单位元，对加法有左、右分配律
4. 模（module）：一个定义了数乘的abel群，数乘定义为从交换环和模的笛卡尔积映到该模的映射，具有结合律、单位元，对加法有左、右分配律

对于四种不同的代数结构，我们总可以定义一类特殊的子集，其继承了父集的代数结构

1. 子群：群的子集，具有加法单位元，关于加法封闭
2. 子环：环的子集，具有加法和乘法单位元，关于加法和乘法封闭
3. 子空间：线性空间的子集，具有加法单位元，关于加法和数乘封闭
4. 子模：模的子集，具有加法单位元，关于加法和数乘封闭

然后是这些代数结构上的特殊映射的概念

1. 群同态：从一个群到另一个群的映射，保持两个群上的加法
2. 环同态：从一个环到另一个环的映射，保持两个环上的加法和乘法
3. 线性映射：从一个线性空间到另一个线性空间的映射，保持两个线性空间上的加法和数乘
4. 模同态：从一个模到另一个模的映射，保持两个模上的加法和数乘

额外地，若这些映射还为双射，则改称“同态（homomorphism）”为“同构（isomorphism）”，例如：群同构，环同构，线性同构，模同构；此时我们也称同构映射的定义域和值域是同构的；

映射的核（kernal）与像（image）

1. 定义域中被映射映为零的元素构成的集合称为映射的核
2. 映射所有可能的取值构成的集合称为映射的像

接下来是商集的概念，

1. 等价关系（equivalence relation）：我们称满足自反性，对称性，传递性的关系为一个等价关系，如果集合中的两个元素适合这个等价关系，我们称这两个元素等价
2. 等价类（equivalence class）：在一个等价关系下，集合可被分类，有些元素之间等价，有些不等价，把所有等价的元素分为一类，称为一个等价类；通常记元素 $x$ 所在的等价类为 $[x]$
3. 划分（partition）：在一个等价关系下，对集合的任意两个元素，它们所在的等价类要么一样，要么完全不相交，我们称所有等价类是这个集合的一个划分
4. 商集（quotient set）：在一个等价关系下，集合的所有等价类构成的新集合称为商集
5. 自然映射：从集合到它的商集，把集合的元素映为其所在的等价类的映射，称为自然映射

对四种不同的代数结构，我们定义类似陪集的概念如下，由于群没有加法交换律，所以要分左右两种情形；由于环未必有乘法逆元，所以要定义一个稍弱于子环的结构
定义：陪集和商空间
设线性空间 $V$ 和其子空间 $V_0$ ，对任意的 $v\in V$，集合 v + V 0 ≜ { v + v 0 ∣ v 0 ∈ V 0 } v+V_0\triangleq \{v+v_0|v_0\in V_0\} v+V0​≜{v+v0​∣v0​∈V0​}
称为 $v$ 的 $V_0$-陪集， ”$V$ 的任意两个元素的 $V_0$-陪集是否相等“构成一个等价关系，两个 $V_0$-陪集要么相等，要么不交；定义所有 $V_0$ 陪集构成的商集为 $V$ 的商空间，记为 $V/V_0$ ，其关于如下的加法和数乘成为一个线性空间
$$(v_1+V_0)+(v_2+V_0)\triangleq (v_1+v_2)+V_0,$$$$k\cdot (v_1+V_0)\triangleq k\cdot v_1+V_0$$
定义：左、右陪集，正规子群，商空间
设群 $G$ 和其子群 $G_0$ ，对任意的 $a\in G$，集合
a + G 0 ≜ { a + g 0 ∣ g 0 ∈ G 0 } a+G_0\triangleq\{a+g_0|g_0\in G_0\} a+G0​≜{a+g0​∣g0​∈G0​}

称为 $a$ 的 $G_0$ 左陪集，集合
G 0 + a ≜ { g 0 + a ∣ g 0 ∈ G 0 } G_0+a\triangleq \{g_0+a|g_0\in G_0\} G0​+a≜{g0​+a∣g0​∈G0​}

称为 $a$ 的 $G_0$ 右陪集；若对任意 $a\in G$，有
$$a+G_0=G_0+a$$

则称 $G_0$ 为 $G$ 的正规子群；现假设 $G_0$ 是正规子群，那么 ”$G$ 的任意两个元素的 $G_0$-陪集是否相等“构成一个等价关系，两个 $G_0$-陪集要么相等，要么不交；定义所有 $G_0$ 陪集构成的商集为 $G$ 的商群，记为 $G/G_0$ ，其关于如下的加法成为一个群
$$(a+G_0)+(b+G_0)\triangleq (a+b)+G_0$$

定义：理想，陪集，商环
设环 $R$ 和其子集 $I$，若 $I$ 关于加法是 $R$ 的子群，关于乘法有左、右吸收性，则称 $I$ 是 $R$ 的一个理想（ideal）；对任意的 $r\in R$，集合
r + I ≜ { r + a ∣ a ∈ I } r+ I\triangleq\{r+a|a\in I\} r+I≜{r+a∣a∈I}

称为 $a$ 的 $I$ 陪集； ”$R$ 的任意两个元素的 $I$-陪集是否相等“构成一个等价关系，两个 $I$-陪集要么相等，要么不交；定义所有 $I$ 陪集构成的商集为 $V$ 的商环，记为 $R/I$ ，其关于如下的加法和乘法成为一个环
$$(r_1+I)+(r_2+I)\triangleq (r_1+r_2)+I$$

$$(r_1+I)(r_2+I)\triangleq r_1{r}_2+I$$

定义：陪集，商模
设模 $M$ 和其子模 $M_0$ ，对任意的 $m\in M$，集合 m + M 0 ≜ { m + M 0 ∣ m 0 ∈ M 0 } m+M_0\triangleq \{m+M_0|m_0\in M_0\} m+M0​≜{m+M0​∣m0​∈M0​}
称为 $m$ 的 $M_0$-陪集， ”$M$ 的任意两个元素的 $M_0$-陪集是否相等“构成一个等价关系，两个 $M_0$-陪集要么相等，要么不交；定义所有 $M_0$ 陪集构成的商集为 $M$ 的商模，记为 $M/M_0$ ，其关于如下的加法和数乘成为一个模
$$(m_1+M_0)+(m_2+M_0)\triangleq (m_1+m_2)+M_0$$

$$a(m+M_0)\triangleq am+M_0$$

为证明同构定理，先要预备几个结论，按定义容易证明如下命题

命题1：自然映射是满射

命题2：映射的核是定义域的子群（理想、子空间、子模）

命题3：设映射 $f\circ g=h$，若 $g,h$ 均为满射，则 $f$ 一定也为满射

下面叙述这四个定理的证明，证明思路大体类似，先构造目标映射，然后证明它是满射，再证明它是单射，最后证明它是同态

群同态基本定理的证明
设自然映射
$$N:G\to G/\ker \sigma ,a\mapsto a+\ker \sigma$$

定义映射 $$\psi :G/\ker \sigma \to \mathrm{Im}\sigma ,\psi (Na)=\sigma (a)$$
注意到 $\sigma :G\to \mathrm{Im}\sigma ,N$ 均为满射，由命题3得到 $\psi$ 也是满射

若 $\sigma (a)=0$，则 $a\in \ker \sigma$ ，从而 $N(a)=0$，$\psi (Na)=\psi (0)=0$ ，即 $\psi$ 是单射

又 $\psi$ 是群同态
$$\psi (N{a}_1+N{a}_2)=\psi (N(a_1+a_2))=\sigma (a_1+a_2)=\sigma (a_1)+\sigma (a_2)=\psi (N{a}_1)+\psi (N{a}_2)$$

故 $\psi$ 是群同构

环同态基本定理的证明
设自然映射
$$N:R\to R/\ker \sigma ,a\mapsto a+\ker \sigma$$

定义映射 $$\psi :R/\ker \sigma \to \mathrm{Im}\sigma ,\psi (Na)=\sigma (a)$$
注意到 $\sigma :R\to \mathrm{Im}\sigma ,N$ 均为满射，由命题3得到 $\psi$ 也是满射

若 $\sigma (a)=0$，则 $a\in \ker \sigma$ ，从而 $N(a)=0$，$\psi (Na)=\psi (0)=0$ ，即 $\psi$ 是单射

又 $\psi$ 是环同态
$$\psi (N{a}_1+N{a}_2)=\psi (N(a_1+a_2))=\sigma (a_1+a_2)=\sigma (a_1)+\sigma (a_2)=\psi (N{a}_1)+\psi (N{a}_2)$$

$$\psi (N{a}_{1}N{a}_2)=\psi (N(a_1{a}_2))=\sigma (a_1{a}_2)=\sigma (a_1)\sigma (a_2)=\psi (N{a}_1)\psi (N{a}_2)$$

故 $\psi$ 是环同构

模同态基本定理的证明
设自然映射
$$N:M\to M/\ker \sigma ,a\mapsto a+\ker \sigma$$

定义映射 $$\psi :M/\ker \sigma \to \mathrm{Im}\sigma ,\psi (Na)=\sigma (a)$$
注意到 $\sigma :M\to \mathrm{Im}\sigma ,N$ 均为满射，由命题3得到 $\psi$ 也是满射

若 $\sigma (a)=0$，则 $a\in \ker \sigma$ ，从而 $N(a)=0$，$\psi (Na)=\psi (0)=0$ ，即 $\psi$ 是单射

又 $\psi$ 是模同态
$$\psi (N{a}_1+N{a}_2)=\psi (N(a_1+a_2))=\sigma (a_1+a_2)=\sigma (a_1)+\sigma (a_2)=\psi (N{a}_1)+\psi (N{a}_2)$$

$$\psi (kNa)=\psi (N(ka))=\sigma (ka)=k\sigma (a)=k\psi (Na)$$

故 $\psi$ 是模同构

线性映射同构定理的证明
设自然映射
$$N:V\to V/\ker \phi ,a\mapsto a+\ker \phi$$

定义映射 $$\begin{gathered} \psi :V/\ker \\ varphi\to \mathrm{Im}\phi ,\psi (Na)=\phi (a) \end{gathered}$$
注意到 $\phi :V\to \mathrm{Im}\phi ,N$ 均为满射，由命题3得到 $\psi$ 也是满射

若 $\phi (a)=0$，则 $a\in \ker \phi$ ，从而 $N(a)=0$，$\psi (Na)=\psi (0)=0$ ，即 $\psi$ 是单射

又 $\psi$ 是线性映射
$$\psi (N{a}_1+N{a}_2)=\psi (N(a_1+a_2))=\phi (a_1+a_2)=\phi (a_1)+\phi (a_2)=\psi (N{a}_1)+\psi (N{a}_2)$$

$$\psi (kNa)=\psi (N(ka))=\phi (ka)=k\phi (a)=k\psi (Na)$$

故 $\psi$ 是线性同构

参考书：《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 编著