单纯形投影算法

本文来自论文：Projection Onto A Simplex

一，任意点到平移坐标轴面的投影

1，求解目标

求：

几何意义就是，考虑平移坐标轴面：

求任意一点y到这个平移坐标轴面的投影z，有了z就能求出整个式子的值了。

以n=2为例：

黑色线即坐标轴，红色线即平移坐标轴面，蓝色线展示了3个不同的投影例子。

2，转换变量

在几何意义中，我们当t是常数，对于任意点y，求y的投影点z。

反过来，我们把y当常数，即固定点，对于坐标轴面平移到不同的位置，即不同的t，有不同的投影点z。

3，求解结果

不防设y的n个分量是依次递增的，y1<=...<=yn，

那么上式的结果就是：

4，f(t)的导数

f(t)在全体实数域上是可导的

5，f(t)的最小值

f(t)的最小值一定是在导数为0的点。