从FT的性质上理解幅度调制与频谱搬移

1. AM-SC波时域表达式

  以抑制载频调幅（Amplitude Modulation with suppressed carrier, AM-SC）信号为例，设信号$e\left(t\right)$的频谱为一个带限谱，最高频率为${\omega }_m$，大致表示其波形如下

使用载波频率为${\omega }_c$的正弦波作为AM-SC的载波，假定初相为$0$，则得到AM-SC波表达式$a\left(t\right)$为
a ( t ) = A e ( t ) cos ⁡ ω c t a(t)=Ae(t)cosωct

a(t)=Ae(t)cosωc​t​​
其中，$A$为载波的振幅。

2. 理解1：FT的频域卷积定理

  若要根据FT的频域卷积定理
F { y ( t ) } = F { x 1 ( t ) x 2 ( t ) } = 1 2 π X 1 ( j ω ) ∗ X 2 ( j ω ) F{y(t)}=F{x1(t)x2(t)}=12πX1(jω)∗X2(jω)

F{y(t)}=F{x1​(t)x2​(t)}=2π1​X1​(jω)∗X2​(jω)​​
来得到AM-SC波$a\left(t\right)$的表达式，则分别求得$e\left(t\right)$和$A\cos {\omega }_{c}t$可以直接得到
{ F { e ( t ) } = E ( j ω ) F { A cos ⁡ ω c t } = A π [ δ ( ω + ω c ) + δ ( ω − ω c ) ] \left\{ F{e(t)}=E(jω)F{Acosωct}=Aπ[δ(ω+ωc)+δ(ω−ωc)]

\right. {​F{e(t)}=E(jω)F{Acosωc​t}=Aπ[δ(ω+ωc​)+δ(ω−ωc​)]​
从而根据式(2)的频域卷积定理，并结合一般函数与冲激函数运算的法则：乘积对采样，卷积对搬移，可以得到AM-SC波的FT频域表达式为
F { a ( t ) } = 1 2 π E ( j ω ) ∗ A π [ δ ( ω + ω c ) + δ ( ω − ω c ) ] = A 2 { E [ j ( ω + ω c ) ] + E [ j ( ω − ω c ) ] } F{a(t)}=12πE(jω)∗Aπ[δ(ω+ωc)+δ(ω−ωc)]=A2{E[j(ω+ωc)]+E[j(ω−ωc)]}

F{a(t)}​=2π1​E(jω)∗Aπ[δ(ω+ωc​)+δ(ω−ωc​)]=2A​{E[j(ω+ωc​)]+E[j(ω−ωc​)]}​
则对应的$a\left(t\right)$信号的幅度谱为

就是将原信号$e\left(t\right)$的幅度谱从零频中心搬移到以$\pm {\omega }_c$频率为中心的位置，而各频点的幅度大小则乘以$A/2$。若取$A=1$，则就是$e\left(t\right)$的中心频率搬移到$\pm {\omega }_c$处，且各频点的幅度减半。
  因而通过直接使用FT频域卷积定理的性质求出AM-SC波的频谱，则该方法对AM调制的理解其实就是来源于上面说到的冲激函数的运算法则，即：乘积对采样，卷积对搬移。就是在频域卷积中，将原信号的频谱$E\left(j\omega \right)$与频域中的移位的冲激信号$\delta \left(\omega \pm {\omega }_c\right)$进行卷积，得到的频谱搬移。这是从计算上理解的AM与频谱搬移。通常这种理解方式可能是大多数的理解方式。

3. 理解2：FT的移频特性

  FT的移频特性是
x ( t ) e − j ω c t ⟷ F X [ j ( ω − ω c ) ] x(t)e−jωctF⟷X[j(ω−ωc)]

x(t)e−jωc​t⟷F​X[j(ω−ωc​)]​​
同时通过欧拉公式，可以得到
$$\begin{array}{c}\cos {\omega }_{c}t=\frac{e^{-j{\omega }_{c}t}+e^{j{\omega }_{c}t}}{2}\end{array}$$
从而
$$a\left(t\right)=\frac{A}{2}e\left(t\right)\left(e^{-j{\omega }_{c}t}+e^{j{\omega }_{c}t}\right)$$
那么根据式(3)的移频特性，同样可以得到
F { a ( t ) } = A 2 { E [ j ( ω + ω c ) ] + E [ j ( ω − ω c ) ] } F{a(t)}=A2{E[j(ω+ωc)]+E[j(ω−ωc)]}

F{a(t)}=2A​{E[j(ω+ωc​)]+E[j(ω−ωc​)]}​​
  因此，这一方式的理解其实就是通过欧拉公式转化载波表达式，并使用移频特性得到AM-SC波的频谱。因而从这个特性的名字就可以看出来，移频特性的意义显然就是频谱的搬移，这是从FT性质上理解的AM本质就是频谱搬移。

4. 参考资料

1. 管致中, 夏恭恪, 孟桥. 信号与线性系统.上册[M]. 第6版. 北京: 高等教育出版社, 2015: 125-126, 137-138, 175-177.