• 竞赛常考的知识点大总结(七)图论

    最短路

    最短路问题（Shortest Path Problem）是图论中的一个经典问题，它要求在给定的图中找到两个顶点之间的最短路径。最短路问题可以是单源最短路问题（从一个顶点到其他所有顶点的最短路径）或所有对最短路问题（任意两个顶点之间的最短路径）。

    特点：

    1.图论问题：最短路问题是图论中的一个基本问题，通常在加权图中求解。

    2.权重：图中的边具有权重，最短路问题的目标是最小化路径的权重总和。

    3.多种算法：存在多种算法可以解决最短路问题，如迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）、贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）、Floyd-Warshall算法等。

    4.应用广泛：最短路问题在现实世界中有广泛的应用，如网络路由、交通规划、物流调度等。

    常见用法：

    1.网络路由：在网络设计中，最短路算法用于确定数据包的最佳传输路径。

    2.交通规划：在交通规划中，最短路算法用于计算两点之间的最短行驶路径。

    3.物流调度：在物流调度中，最短路算法用于优化货物的配送路径。

    4.游戏开发：在游戏开发中，最短路算法用于AI寻路和地图探索。

    经典C语言例题：

    题目： 使用迪杰斯特拉算法解决单源最短路问题。

    示例代码：

    1. #include 
    2. #include 
    3. #include
    4. #include
    5. // 定义图的结构体
    6. typedef struct Graph {
    7.     int V; // 顶点数量
    8.     int** adjMatrix; // 邻接矩阵
    9. } Graph;
    10.  
    11. // 创建图的函数
    12. Graph* createGraph(int V) {
    13.     Graph* graph = (Graph*)malloc(sizeof(Graph));
    14.     graph->V = V;
    15.     graph->adjMatrix = (int**)malloc(V * sizeof(int*));
    16.     for (int i = 0; i < V; i++) {
    17.          graph->adjMatrix[i] = (int*)malloc(V * sizeof(int));
    18.          memset(graph->adjMatrix[i], INT_MAX, V * sizeof(int));
    19.          graph->adjMatrix[i][i] = 0;
    20.        }
    21.     return graph;
    22. }
    23.  
    24. // 添加边的函数
    25. void addEdge(Graph* graph, int src, int dest, int weight) {
    26.     graph->adjMatrix[src][dest] = weight;
    27.     graph->adjMatrix[dest][src] = weight; // 无向图
    28. }
    29.  
    30. // 迪杰斯特拉算法函数
    31. void dijkstra(Graph* graph, int src) {
    32.     int* dist = (int*)malloc(graph->V * sizeof(int));
    33.     int* sptSet = (int*)malloc(graph->V * sizeof(int));
    34.     for (int i = 0; i < graph->V; i++) {
    35.          dist[i] = INT_MAX;
    36.          sptSet[i] = 0;
    37.        }
    38.     dist[src] = 0;
    39.     for (int count = 0; count < graph->V - 1; count++) {
    40.          int u = -1, min = INT_MAX;
    41.          for (int v = 0; v < graph->V; v++) {
    42.               if (sptSet[v] == 0 && dist[v] <= min) {
    43.                    u = v;
    44.                    min = dist[v];
    45.                  }
    46.              }
    47.          sptSet[u] = 1;
    48.          for (int v = 0; v < graph->V; v++) {
    49.               if (sptSet[v] == 0 && graph->adjMatrix[u][v] && dist[u] != INT_MAX && dist[u] + graph->adjMatrix[u][v] < dist[v]) {
    50.                    dist[v] = dist[u] + graph->adjMatrix[u][v];
    51.                  }
    52.              }
    53.        }
    54.     printf("Vertex\tDistance from Source\n");
    55.     for (int i = 0; i < graph->V; i++) {
    56.          printf("%d\t\t%d\n", i, dist[i]);
    57.        }
    58.     free(dist);
    59.     free(sptSet);
    60. }
    61.  
    62. int main() {
    63.     Graph* graph = createGraph(9);
    64.     addEdge(graph, 0, 1, 4);
    65.     addEdge(graph, 0, 7, 8);
    66.     addEdge(graph, 1, 2, 8);
    67.     addEdge(graph, 1, 7, 11);
    68.     addEdge(graph, 2, 3, 7);
    69.     addEdge(graph, 2, 8, 2);
    70.     addEdge(graph, 2, 5, 4);
    71.     addEdge(graph, 3, 4, 9);
    72.     addEdge(graph, 3, 5, 14);
    73.     addEdge(graph, 4, 5, 10);
    74.     addEdge(graph, 5, 6, 2);
    75.     addEdge(graph, 6, 8, 6);
    76.     addEdge(graph, 6, 7, 1);
    77.     addEdge(graph, 7, 8, 7);
    78.     dijkstra(graph, 0);
    79.     free(graph->adjMatrix[0]);
    80.     free(graph->adjMatrix);
    81.     free(graph);
    82.     return 0;
    83. }

    例题分析：

    1.创建图：createGraph函数创建一个图的结构体，包括顶点数量和邻接矩阵。

    2.添加边：addEdge函数向图中添加边，并设置边的权重。

    3.迪杰斯特拉算法：dijkstra函数实现迪杰斯特拉算法，计算从源点src到其他所有顶点的最短路径。函数使用一个数组dist来存储到每个顶点的最短路径权重，另一个数组sptSet来标记已经找到最短路径的顶点。

    4.打印结果：函数最后打印出每个顶点到源点的最短路径权重。

    5.主函数：在main函数中，创建了一个图，并添加了一些边。调用dijkstra函数计算从顶点0到其他所有顶点的最短路径，并打印结果。

    这个例题展示了如何在C语言中使用迪杰斯特拉算法解决单源最短路问题。通过这个例子，可以更好地理解迪杰斯特拉算法在解决最短路问题中的应用，以及如何使用邻接矩阵来存储图的信息。迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过逐步选择最短的未处理路径来找到最短路径，适用于加权图中的单源最短路问题。

    树的直径

    树的直径（Diameter of a Tree）是指树中任意两点之间的最长路径的长度。在图论中，树是一种特殊的无向图，它没有环，并且任意两个顶点之间有且仅有一条路径。

    特点：

    1.最长路径：树的直径是树中任意两点之间的最长路径的长度。

    2.无环：树是一种无环的图，这意味着树中不存在循环依赖。

    3.唯一路径：在树中，任意两个顶点之间有且仅有一条路径。

    4.连通性：树中的任意两个顶点都是连通的。

    常见用法：

    1.网络设计：在计算机网络中，树的直径可以用来衡量网络的效率，最长路径越短，网络的响应时间越短。

    2.数据结构：在数据结构中，树的直径可以用来衡量树的深度，有助于优化树的存储和查询效率。

    3.算法设计：在算法设计中，树的直径可以用来衡量算法的性能，最长路径越短，算法的效率越高。

    经典C语言例题：

    题目： 计算树的直径。

    示例代码：

    1. #include 
    2. #include 
    3. #include 
    4. // 定义树的结构体
    5. typedef struct Node {
    6.     int vertex;
    7.     struct Node* left;
    8.     struct Node* right;
    9. } Node;
    10.  
    11. // 创建树的节点
    12. Node* newNode(int v) {
    13.     Node* node = (Node*)malloc(sizeof(Node));
    14.     node->vertex = v;
    15.     node->left = NULL;
    16.     node->right = NULL;
    17.     return node;
    18. }
    19.  
    20. // 计算树的直径
    21. int treeDiameter(Node* root) {
    22.     if (root == NULL) {
    23.          return 0;
    24.       }
    25.       // 计算左右子树的高度
    26.       int leftHeight = treeDiameter(root->left);
    27.       int rightHeight = treeDiameter(root->right);
    28.       // 更新直径
    29.       int diameter = leftHeight + rightHeight;
    30.       // 返回当前子树的高度
    31.       return (leftHeight > rightHeight) ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
    32. }
    33.  
    34. // 主函数
    35. int main() {
    36.     Node* root = newNode(1);
    37.     root->left = newNode(2);
    38.     root->right = newNode(3);
    39.     root->left->left = newNode(4);
    40.     root->left->right = newNode(5);
    41.     root->right->left = newNode(6);
    42.     root->right->right = newNode(7);
    43.     printf("Diameter of the tree is: %d\n", treeDiameter(root));
    44.     return 0;
    45. }

    例题分析：

    1.创建树的节点：newNode函数创建树的节点，并初始化节点的值。

    2.计算树的直径：treeDiameter函数递归地计算树的直径。函数首先计算左右子树的高度，然后更新直径，最后返回当前子树的高度。

    3.主函数：在main函数中，创建了一个树的实例，并调用treeDiameter函数计算树的直径，最后打印结果。

    这个例题展示了如何在C语言中使用递归方法来计算树的直径。通过这个例子，可以更好地理解树的直径在解决树形结构问题中的应用，以及如何使用递归技术来高效地解决问题。树的直径是树中任意两点之间的最长路径的长度，通过计算左右子树的高度并更新直径，可以得到整个树的直径。

    拓扑排序

    拓扑排序（Topological Sorting）是图论中的一种算法，用于对有向无环图（DAG）的顶点进行排序，使得对于图中的每一条有向边(u, v)，u在排序中都出现在v之前。拓扑排序通常用于解决依赖关系问题，如课程安排、任务调度等。

    特点：

    1.有向无环图：拓扑排序只适用于有向无环图，即图中不存在环。

    2.排序结果：拓扑排序的结果可能不唯一，因为可能存在多个合法的排序。

    3.依赖关系：拓扑排序反映了图中顶点之间的依赖关系，即如果存在一条路径从u到v，则u在排序中必须出现在v之前。

    4.应用广泛：拓扑排序在编译器设计、软件工程、项目管理等领域都有广泛应用。

    常见用法：

    1.课程安排：在大学课程安排中，拓扑排序可以用来确定课程的先修关系。

    2.任务调度：在项目管理中，拓扑排序可以用来确定任务的执行顺序。

    3.依赖解析：在软件构建系统中，拓扑排序可以用来解析模块之间的依赖关系。

    经典C语言例题：

    题目： 使用拓扑排序解决课程安排问题。

    示例代码：

    1. #include 
    2. #include 
    3.  
    4. // 定义图的结构体
    5. typedef struct Graph {
    6.     int V; // 顶点数量
    7.     int* adjMatrix; // 邻接矩阵
    8. } Graph;
    9.  
    10. // 创建图的函数
    11. Graph* createGraph(int V) {
    12.     Graph* graph = (Graph*)malloc(sizeof(Graph));
    13.     graph->V = V;
    14.     graph->adjMatrix = (int*)malloc(V * V * sizeof(int));
    15.     return graph;
    16. }
    17.  
    18. // 添加边的函数
    19. void addEdge(Graph* graph, int src, int dest) {
    20.     graph->adjMatrix[src * graph->V + dest] = 1;
    21. }
    22.  
    23. // 拓扑排序函数
    24. void topologicalSort(Graph* graph, int V, int* order) {
    25.     int* indegree = (int*)calloc(V, sizeof(int));
    26.     for (int i = 0; i < V; i++) {
    27.          for (int j = 0; j < V; j++) {
    28.               if (graph->adjMatrix[i * V + j] == 1) {
    29.                    indegree[j]++;
    30.                   }
    31.               }
    32.          }
    33.     int queue[V];
    34.     int front = 0, rear = -1;
    35.     for (int i = 0; i < V; i++) {
    36.          if (indegree[i] == 0) {
    37.               queue[++rear] = i;
    38.               }
    39.          }
    40.     int count = 0;
    41.     while (front <= rear) {
    42.          int v = queue[front++];
    43.          order[count++] = v;
    44.          for (int i = 0; i < V; i++) {
    45.               if (graph->adjMatrix[v * V + i] == 1 && --indegree[i] == 0) {
    46.                    queue[++rear] = i;
    47.                   }
    48.               }
    49.          }
    50.     if (count != V) {
    51.          printf("Graph has a cycle\n");
    52.          free(indegree);
    53.          free(queue);
    54.          return;
    55.        }
    56.     printf("Topological order: ");
    57.     for (int i = 0; i < count; i++) {
    58.          printf("%d ", order[i]);
    59.        }
    60.     printf("\n");
    61.     free(indegree);
    62.     free(queue);
    63. }
    64.  
    65. int main() {
    66.     Graph* graph = createGraph(6);
    67.     addEdge(graph, 5, 2);
    68.     addEdge(graph, 5, 0);
    69.     addEdge(graph, 4, 0);
    70.     addEdge(graph, 4, 1);
    71.     addEdge(graph, 2, 3);
    72.     addEdge(graph, 3, 1);
    73.     int order[6];
    74.     topologicalSort(graph, 6, order);
    75.     return 0;
    76. }

    例题分析：

    1.创建图：createGraph函数创建一个图的结构体，包括顶点数量和邻接矩阵。

    2.添加边：addEdge函数向图中添加边。

    3.拓扑排序：topologicalSort函数实现拓扑排序算法。函数首先计算每个顶点的入度，然后将入度为0的顶点入队列。接着，从队列中取出顶点，将其加入排序结果，并将其所有出边对应的顶点的入度减1，如果入度变为0，则加入队列。最后，如果排序结果的顶点数量不等于图的顶点数量，则说明图中有环。

    4.打印结果：函数最后打印出拓扑排序的结果。

    5.主函数：在main函数中，创建了一个图，并添加了一些边。调用topologicalSort函数计算拓扑排序，并打印结果。

    这个例题展示了如何在C语言中使用拓扑排序解决课程安排问题。通过这个例子，可以更好地理解拓扑排序在解决依赖关系问题中的应用，以及如何使用邻接矩阵来存储图的信息。拓扑排序是一种有效的算法，可以用来确定有向无环图中顶点的合法排序，从而解决依赖关系问题。

    最小生成树

    最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中的一个概念，它是指在一个加权连通图中，选取的边的权重之和最小，并且包括图中的所有顶点的生成树。最小生成树具有以下特点：

    特点：

    1.连通性：最小生成树包含图中的所有顶点。

    2.无环：最小生成树是一棵树，因此它不包含任何环。

    3.权重最小：最小生成树的边的权重之和是所有生成树中最小的。

    4.唯一性：在权重不相等的图中，最小生成树是唯一的；如果图中存在权重相同的边，则可能存在多个最小生成树。

    常见用法：

    1.网络设计：在计算机网络中，最小生成树用于设计最经济的网络连接。

    2.电路设计：在电路设计中，最小生成树用于寻找连接所有元件的最短路径。

    3.城市规划：在城市规划中，最小生成树用于确定城市中各个区域的最短道路连接。

    4.图像处理：在图像处理中，最小生成树用于图像分割和特征提取。

    经典C语言例题：

    题目： 使用普里姆算法（Prim's Algorithm）解决最小生成树问题。

    示例代码：

    1. #include 
    2. #include 
    3. #include
    4. #include
    5. // 定义图的结构体
    6. typedef struct Graph {
    7.     int V; // 顶点数量
    8.     int** adjMatrix; // 邻接矩阵
    9. } Graph;
    10.  
    11. // 创建图的函数
    12. Graph* createGraph(int V) {
    13.     Graph* graph = (Graph*)malloc(sizeof(Graph));
    14.     graph->V = V;
    15.     graph->adjMatrix = (int**)malloc(V * sizeof(int*));
    16.     for (int i = 0; i < V; i++) {
    17.          graph->adjMatrix[i] = (int*)malloc(V * sizeof(int));
    18.          memset(graph->adjMatrix[i], INT_MAX, V * sizeof(int));
    19.          graph->adjMatrix[i][i] = 0;
    20.         }
    21.     return graph;
    22. }
    23.  
    24. // 添加边的函数
    25. void addEdge(Graph* graph, int src, int dest, int weight) {
    26.     graph->adjMatrix[src][dest] = weight;
    27.     graph->adjMatrix[dest][src] = weight; // 无向图
    28. }
    29.  
    30. // 普里姆算法函数
    31. void primMST(Graph* graph, int start) {
    32.     int* key = (int*)malloc(graph->V * sizeof(int));
    33.     int* parent = (int*)malloc(graph->V * sizeof(int));
    34.     int* inMST = (int*)calloc(graph->V, sizeof(int));
    35.     for (int i = 0; i < graph->V; i++) {
    36.          key[i] = INT_MAX;
    37.          parent[i] = -1;
    38.         }
    39.     key[start] = 0;
    40.     parent[start] = -1;
    41.     for (int count = 0; count < graph->V - 1; count++) {
    42.          int u = -1, min = INT_MAX;
    43.          for (int v = 0; v < graph->V; v++) {
    44.               if (inMST[v] == 0 && key[v] <= min) {
    45.                    u = v;
    46.                    min = key[v];
    47.                   }
    48.               }
    49.          inMST[u] = 1;
    50.          for (int v = 0; v < graph->V; v++) {
    51.               if (graph->adjMatrix[u][v] && inMST[v] == 0 && graph->adjMatrix[u][v] < key[v]) {
    52.                    parent[v] = u;
    53.                     key[v] = graph->adjMatrix[u][v];
    54.                   }
    55.               }
    56.         }
    57.     printf("Edge \tWeight\n");
    58.     for (int i = 1; i < graph->V; i++) {
    59.          printf("%d - %d \t%d\n", parent[i], i, graph->adjMatrix[i][parent[i]]);
    60.         }
    61.     free(key);
    62.     free(parent);
    63.     free(inMST);
    64. }
    65.  
    66. int main() {
    67.     Graph* graph = createGraph(9);
    68.     addEdge(graph, 0, 1, 4);
    69.     addEdge(graph, 0, 7, 8);
    70.     addEdge(graph, 1, 2, 8);
    71.     addEdge(graph, 1, 7, 11);
    72.     addEdge(graph, 2, 3, 7);
    73.     addEdge(graph, 2, 8, 2);
    74.     addEdge(graph, 2, 5, 4);
    75.     addEdge(graph, 3, 4, 9);
    76.     addEdge(graph, 3, 5, 14);
    77.     addEdge(graph, 4, 5, 10);
    78.     addEdge(graph, 5, 6, 2);
    79.     addEdge(graph, 6, 8, 6);
    80.     addEdge(graph, 6, 7, 1);
    81.     addEdge(graph, 7, 8, 7);
    82.     primMST(graph, 0);
    83.     free(graph->adjMatrix[0]);
    84.     free(graph->adjMatrix);
    85.     free(graph);
    86.     return 0;
    87. }
    88.

    例题分析：

    1.创建图：createGraph函数创建一个图的结构体，包括顶点数量和邻接矩阵。

    2.添加边：addEdge函数向图中添加边，并设置边的权重。

    3.普里姆算法：primMST函数实现普里姆算法，计算从源点start到其他所有顶点的最小生成树。函数使用三个数组key、parent和inMST来存储每个顶点的最小权重、前驱顶点和是否在最小生成树中。

    4.打印结果：函数最后打印出最小生成树的边和权重。

    5.主函数：在main函数中，创建了一个图，并添加了一些边。调用primMST函数计算从顶点0到其他所有顶点的最小生成树，并打印结果。

    这个例题展示了如何在C语言中使用普里姆算法解决最小生成树问题。通过这个例子，可以更好地理解普里姆算法在解决最小生成树问题中的应用，以及如何使用邻接矩阵来存储图的信息。普里姆算法是一种贪心算法，它通过逐步选择最小权重的边来构建最小生成树，适用于加权图中的最小生成树问题。

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