dp入门课（一）

今天，我们要讲一个算法，他的名字叫做动态规划，也叫dp。

不知道大家学过贪心算法没有，没学过可以自己查一下。

先看一道例题，了解一下dp:

链接：2. 01背包问题 - AcWing题库

大家先尝试一下贪心算法。

如果你按着 v[i] 的大小来选，我可以举出反例：

3 5

1 2

1 3

5 100000

答案是100000，你的程序对了吗？

如果你按着 w[i] 来选，我也可以举出反例：

3 5

1 10

5 12

3 1

答案是50，你的程序对了吗？

这道题，如果你dfs或bfs,直接超时。

而用贪心，又会错。

于是我们引入新概念：

DP!

我们可以开一个二维数组，就叫做f吧。

f[i][j]代表在前i个中用j元钱能获得的最大价值。

假设我们知道f[i][j]之前的所有数，如何求出f[i][[j]?

我们来看一看。

首先，f[i][j]=f[i-1][j].

有人会问：为什么呢？

大家想想，我这步假设啥也不去，那答案就是f[i-1][j],所以我们可以让他先等于这个值，再枚举每件物品，看选择它或不选择他的答案那个大，就选择那个。

所以代码就是这样：

#include 
using namespace std;
const int N = 5010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		cin >> v[i] >> w[i];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
		for (int j = 1; j <= m; j ++ ){
			
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			if (j - v[i] >= 0){
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
			}
		}
	}
	cout << f[n][m] << endl;
	return 0;
}

我们在思考一下，是不是i的那一维度完全用不到，我们就可以把i的那一维减下来。

代码如下:

#include 
using namespace std;
const int N = 100010;
int f[N];
int main(){
	int n,m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
		int v,w;
		cin >> v >> w;
		for (int j = m; j >= v; j -- ){
			f[j] = max(f[j],f[j - v] + w);
		}
	}
	cout << f[m];
	return 0;
}

好，今天就讲到这里，给大家布置一个习题：3. 完全背包问题 - AcWing题库