A*（A-Star)算法
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法的思想是广度优先搜索（BFS） 贪心策略。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，节点边是不各自不同的权重，但都必须是正数
如果是负数，则需要 Bellman-Ford 算法
如果想求任意两点之间的距离，就需要用 Floyd 算法
求节点0 -> 4 的最短路径
- 每次从未标记的节点中选择距离出发点最近的节点，标记，收录到最优路径集合中
- 计算刚加入节点A的邻近节点B的距离（不包括标记的节点），若（节点A的距离 + 节点A到节点B的边长）< 节点B的距离，就更新节点B的距离和前序节点
初始状态
| 节点 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 备注 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最优节点 | 每一步，找出未标记的节点中，最短的距离，标记为最优节点 | |||||||||
| 出发节点 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | 当前节点，到每个节点的距离，刚开始，所有的节点都认为是 ∞ 无穷大 |
| 前序点 | 为了记录最短路径，需要记录每个节点的前序节点 |
从0出发
| 节点 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最优节点 | ✔️ | ||||||||
| 0 出发 | 0 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
| 前序点 |
首先，节点0的距离是0，所有节点中距离最短的是它自己，0为最优路径中的节点
更新0邻近节点1、7
从0点出发，到 相邻的节点 1、7
0->1 = 4 , 节点 1 此时为 ∞，因此 节点 1 的 距离 标为 4，前序节点为 0
0->7 = 8 , 节点 7 此时为 ∞，因此 节点 7 的 距离 标为 8，前序节点为 0
从未标记最优节点（1~8）中，找距离出发点最小的节点 => 1
| 节点 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最优节点 | ✅ | ✔️ | |||||||
| 0 出发 | 0 | 4 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | 8 | ∞ |
| 前序点 | 0 | 0 |
更新1邻近节点2、7
上一次的最优节点是 1
从0点出发，到 节点 1 相邻的节点 2、7
0->1->2 = 4 + 8 = 12 , 节点 2 此时为 ∞，因此 节点 2 的 距离 标为 12，前序节点为 1
0->1->7 = 4 + 11 = 15 , 节点 7 已有值 8，8<15，因此 节点7 的 距离、前序节点保持不变
从未标记最优节点（2~8）中，找距离出发点最小的节点 => 7
| 节点 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最优节点 | ✅ | ✅ | ✔️ | ||||||
| 0 出发 | 0 | 4 | 12 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | 8 | ∞ |
| 前序点 | 0 | 1 | 0 |
更新7邻近节点 8、6
上一次的最优节点是 7
从0点出发，到 节点 7 相邻的节点 8、6
0->7->8 = 8 + 7 = 15 , 节点 8 此时为 ∞，因此 节点 8 的 距离 标为 15，前序节点为 7
0->7->6 = 8 + 1 = 9 , 节点 6 此时为 ∞，因此 节点 6 的 距离 标为 9，前序节点为 7
从未标记最优节点（2~6、8）中，找距离出发点最小的节点 => 6
| 节点 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最优节点 | ✅ | ✅ | ✔️ | ✅ | |||||
| 0 出发 | 0 | 4 | 12 | ∞ | ∞ | ∞ | 9 | 8 | 15 |
| 前序点 | 0 | 1 | 7 | 0 | 7 |
更新6邻近节点 8、5
上一次的最优节点是 6
从0点出发，到 节点 6 相邻的节点 8、5
0->7->6->8 = 8 + 1 + 6 = 15 , 节点 8 已有值 15，15=15，因此 节点 8 的 距离、前序节点保持不变
0->7->6->5 = 8 + 1 + 2 = 11 , 节点 5 此时为 ∞，因此 节点 5 的 距离 标为 11，前序节点为 6
从未标记最优节点（2~5、8）中，找距离出发点最小的节点 => 5
| 节点 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最优节点 | ✅ | ✅ | ✔️ | ✅ | ✅ | ||||
| 0 出发 | 0 | 4 | 12 | ∞ | ∞ | 11 | 9 | 8 | 15 |
| 前序点 | 0 | 1 | 6 | 7 | 0 | 7 |
更新5邻近节点 2、3、4
上一次的最优节点是 5
从0点出发，到 节点 5 相邻的节点 2、3、4
0->7->6->5->2 = 8 + 1 + 2 + 4 = 15 , 节点 2 已有值 12，12<15，因此 节点2 的 距离、前序节点保持不变
0->7->6->5->3 = 8 + 1 + 2 + 14 = 25 , 节点 3 此时为 ∞，因此 节点 3 的 距离 标为 25，前序节点为 5
0->7->6->5->4 = 8 + 1 + 2 + 10 = 21 , 节点 4 此时为 ∞，因此 节点 4 的 距离 标为 21，前序节点为 5
从未标记最优节点（2、3、4、8）中，找距离出发点最小的节点 => 2
| 节点 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最优节点 | ✅ | ✅ | ✔️ | ✅ | ✅ | ✅ | |||
| 0 出发 | 0 | 4 | 12 | 25 | 21 | 11 | 9 | 8 | 15 |
| 前序点 | 0 | 1 | 5 | 5 | 6 | 7 | 0 | 7 |
更新2邻近节点 3、8
上一次的最优节点是 2
从0点出发，到 节点 2 相邻的节点 3、5、8，节点5已标记，所以不处理节点5
0->1->2->3 = 4 + 8 + 7 = 19 , 节点 3 已有值 25，25>19，因此 节点 3 的 距离 标为 19，前序节点为 2
0->1->2->8 = 4 + 8 + 2 = 14 , 节点 8 已有值 15，15>14，因此 节点 8 的 距离 标为 14，前序节点为 2
从未标记最优节点（3、4、8）中，找距离出发点最小的节点 => 8
| 节点 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最优节点 | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ | ✔️ | ||
| 0 出发 | 0 | 4 | 12 | 19 | 21 | 11 | 9 | 8 | 14 |
| 前序点 | 0 | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 0 | 2 |
更新8邻近节点
上一次的最优节点是 8
8的邻近节点，2、7、6 都已被标记为最优节点，所以不需要处理
从未标记最优节点（3、4）中，找距离出发点最小的节点 => 3
| 节点 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最优节点 | ✅ | ✅ | ✅ | ✔️ | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ | |
| 0 出发 | 0 | 4 | 12 | 19 | 21 | 11 | 9 | 8 | 14 |
| 前序点 | 0 | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 0 | 2 |
更新3邻近节点
上一次的最优节点是 3
最优节点3的邻近节点：2、5、4中 2、5都已被标记为最优节点，处理 4
0->1->2->3->4 = 19 + 9 = 28 , 节点 4 已有值 21，21<28，因此 节点 4 的 距离 、前序节点保持不变
从未标记最优节点（4）中，找距离出发点最小的节点 => 4
| 节点 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最优节点 | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ | ✔️ | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ |
| 0 出发 | 0 | 4 | 12 | 19 | 21 | 11 | 9 | 8 | 14 |
| 前序点 | 0 | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 0 | 2 |
已时已全部结束
最短距离
从出发点0 到节点 4 的最短距离 = 21
最短路径
反向追溯
4 的前序节点 5，5的前面是 6 ... => 4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 0
因此 0 -> 7 -> 6 -> 5 -> 4 是最短路径