AcWing 3. 完全背包问题 学习笔记

有 N� 种物品和一个容量是 V� 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i� 种物品的体积是 vi��，价值是 wi��。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V�，�，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N� 行，每行两个整数 vi,wi��,��，用空格隔开，分别表示第 i� 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

---

挑战模式

#include
using namespace std;
 
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N];
 
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)   scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}

完全背包问题是这样的：给定一个容量为m的背包，可以选择的物品有n件，每一件物品的体积是vi,每一件物品的价值是wi,我们要让背包所装的物品的总价值最大， 求这个最大的价值是多少

这个问题的独特之处在于，不超过背包容量的情况下，某一件特定的商品可以选择无数次。

公式可以经过数学推导出来，看起来非常简单的代码，其实要经过挺长的推导

for(int i=0;i
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);

数学推导如下：

我们有n件物品，对于某一件物品i进行考虑，在不超过背包容量j的情况下，物品i可以选择0件，1件，2件……k件……f[i][j]表示的是选择i件物品，背包容量为j的情况下能装的最大的价值。所以还是让i从1开始计数方便描述一些，下面贴一份代码

#include
using namespace std;
 
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
 
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)   scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}

f[i][j]=f[i-1][j];

这一行表示的是，不选第i件物品，那么最大值就是f[i-1][j]，我们不需要考虑这个数字的具体数值是多少，属于是一种递推的思路

 

if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);

如果背包足够放下第i件物品，好像改成这样也可以过

 

if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);

 

接下来考虑的问题是，能不能把二维的答案数组优化为一维的答案数组，发现把循环范围改成从v[i]开始，可以直接把第一维去除，代码的含义没有发生改变，（这里其实不太懂，f[i][j-v[i]]和f[i-1][j]为啥一样可以直接去掉第一维呢）