【算法之路】高精度算法（实现加减乘除）

目录

一、高精度概念

二、高精度算法的实现

1、高精度加法（大整数相加）

2、高精度减法（大整数减法）

3、高精度乘法（大整数*小整数）

4、高精度除法（大整数/小整数）

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一、高精度概念

高精度算法，是一种处理大数字的数学计算方法。在一般的科学计算中，会经常算到小数点后几百位或者更多，当然也可能是几百亿的大数字。一般这类数字统称为高精度数，高精度算法是用计算机对于超大数据的一种模拟加，减，乘，除，乘方，阶乘等运算。对于非常庞大的数字无法在计算机中正常存储。于是，将这个数字拆开成一位一位的，或者是四位四位的存储到一个数组中， 用一个数组去表示一个数字，这样这个数字就被称为是高精度数。

高精度就是说参与运算的数据和运算结果的范围，超出标准数据类型能表示的数据大小范围的运算。此时如果要得到正确的计算结果，就不能依靠普通方法实现了，而要在普通运算原理的基础上，加以辅助算法来实现超大数据的计算。
例如：求两个 500 位的数据相乘的结果，这时就要用到高精度算法了。

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二、高精度算法的实现

1、高精度加法（大整数相加）

大整数又称为高精度整数,其含义就是用基本数据类型无法存储其精度的整数。 大整数的存储使用数组即可。

 

思路：

先将大整数倒序存储，然后从左往右相加，这样才算是从低位往高位加，并判断是否有进位，加出来的数取余后尾插到要保存的vector中，这样求出来的数还是逆序的，但是主函数会从后往前读。

 AC代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
 
//1、高精度加法(大整数加法)
vector<int> add(vector<int>& A, vector<int>& B)
{
	//如果B更大，因为下面代码都是以第一个形参作为for结束条件，所以要让大的是第一个形参
	if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
 
	vector<int> C;
	int t = 0; //用来判断是否进位
	//注意这里是逆序的数从前往后加的
	for (int i = 0; i < A.size(); ++i)
	{//for循环是以大的数来作为循环结束条件的
		t += A[i];//for循环以A为结束条件，这里不用格外判断
		if (i < B.size()) t += B[i];//因没以B为结束条件，故这里要格外判断是否可以加
		C.push_back(t % 10);//加出来的数要的是余数
		t /= 10; //判断是否有进位
	}
	if (t) C.push_back(t);//有可能最后加完还有进位
 
	//第二种写法
	//这种写法不用格外判断最后是否有进位
	//for (int i = 0, t = 0; i < A.size()||t; ++i)
	//{
	//	if (i < A.size()) t += A[i];//因为有t作为条件，故这里要格外判断
	//	if (i < B.size()) t += B[i];//因没以B为结束条件，故这里要格外判断是否可以加
	//	C.push_back(t % 10);//加出来的数要的是余数
	//	t /= 10; //判断是否有进位
	//}
 
	return C;
}
 
int main()
{
	string a, b;
	cin >> a >> b;
	vector<int> A, B;
	//把字符串逆序存入vector中，方便后续计算
	for (int i = a.size() - 1; i >= 0; --i) A.push_back(a[i] - '0');
	for (int i = b.size() - 1; i >= 0; --i) B.push_back(b[i] - '0');
 
	auto C = add(A, B);
	for (int i = C.size() - 1; i >= 0; --i) cout << C[i];
	cout << endl;
 
	return 0;
}

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2、高精度减法（大整数减法）

思路：

和加法区别在于其一，减法是要借位而不是进位，其二，减法会导致有前导0存在。

什么是前导0？比如124-113，我们存的是421,311，相减时是4-3=1，2-1=1，1-1=0，然后尾插导致C为110，我们最后是逆着读的，即011，(但正常124-113=11)，这里011肯定不对，多了一个前导0，故我们最后要把这个前导0去掉变成11，然后逆着读出来就对了

AC代码： 

#include
#include
#include
using namespace std;
 
//比较哪个数大，注意这里的数是从倒序存的，故后面的才是高位
bool cmp(vector<int>& A, vector<int>& B)
{
	if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
	for (int i = A.size() - 1; i >= 0; --i)
		if (A[i] != B[i]) 
			return A[i] > B[i];//不等从高位开始比
 
	return true;//相等
}
 
vector<int> sub(vector<int>& A, vector<int>& B)
{//利用cmp函数比较，使大的数一定是A，与for循环代码相符
 
	vector<int> C;
	int t = 0;//判断借位
	for (int i = 0; i < A.size(); ++i)
	{
		t = A[i] - t;//每次都会减掉借位
		if (i < B.size()) t -= B[i];
		//关于(t+10)%10（t是减出来的数）
		//t若为正数(但<=9)其=t%10+10%10=t
		//t若为负数，正好可以借位+10然后取余数即可
		C.push_back((t + 10) % 10);
		if (t >= 0) t = 0;
		else t = 1; //<0肯定有借位了
	}
	//因为两个数相减会导致有多余的0出现，故去除前导0
    //size()>1是因为可能真的相减出现0，这种0不算前导0
	while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
 
	return C;
}
 
int main()
{
	string a, b;
	cin >> a >> b;
	vector<int> A, B;
	//把字符串逆序存入vector中，方便后续计算
	for (int i = a.size() - 1; i >= 0; --i) A.push_back(a[i] - '0');
	for (int i = b.size() - 1; i >= 0; --i) B.push_back(b[i] - '0');
 
	vector<int> C;
	if (cmp(A, B)) C = sub(A, B); //正数
	else cout << "-", C = sub(B, A); //负数
 
	for (int i = C.size() - 1; i >= 0; --i) cout << C[i];
	cout << endl;
 
	return 0;
}

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3、高精度乘法（大整数*小整数）

思路： 

AC代码： 

#include
#include
#include
using namespace std;
 
vector<int> mul(vector<int>& A, int b)
{
	vector<int> C;
	for (int i = 0, t = 0; i < A.size() || t; ++i)
	{
		if (i < A.size()) t += A[i] * b;//加上t是因为上一次可能有乘出来的进位
		C.push_back(t % 10);
		t /= 10;//计算进位
	}
	//当b是0时，会出现前导0
	while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
 
	return C;
}
 
int main()
{
	string a;
	int b;
 
	cin >> a >> b;
 
	vector<int> A;
	for (int i = a.size() - 1; i >= 0; --i) A.push_back(a[i] - '0');
 
	auto C = mul(A, b);
 
	for (int i = C.size() - 1; i >= 0; --i) cout << C[i];
	cout << endl;
 
	return 0;
}

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4、高精度除法（大整数/小整数）

思路：

 

AC代码：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
 
vector<int> div(vector<int>& A, int b, int& r)
{
	vector<int> C;
	for (int i = A.size() - 1; i >= 0; --i)
	{
		r = r * 10 + A[i];
		C.push_back(r / b);
		r %= b; //计算余数
	}
	//逆置:因为我们是正常求，但最后是倒着读的，且便于去除前导0
	reverse(C.begin(), C.end());
	while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
 
	return C;
}
 
int main()
{
	string a;
	int b;
 
	cin >> a >> b;
 
	vector<int> A;
	for (int i = a.size() - 1; i >= 0; --i) A.push_back(a[i] - '0');
 
	int r = 0; //余数
	auto C = div(A, b, r);
 
	for (int i = C.size() - 1; i >= 0; --i) cout << C[i];
	cout << endl << r << endl;
 
	return 0;
}

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