二叉树题目：二叉树的最近公共祖先

题目

标题和出处

标题：二叉树的最近公共祖先

出处：236. 二叉树的最近公共祖先

难度

5 级

题目描述

要求

给定一个二叉树，找到该树中两个指定结点的最近公共祖先。

最近公共祖先的定义为：两个结点 $\text{p}$ 和 $\text{q}$ 的最近公共祖先是满足 $\text{p}$ 和 $\text{q}$ 都是其后代的最低的结点 $\text{T}$（一个结点也可以是它自己的祖先）。

示例

示例 1：

输入：$\text{root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1}$
输出：$\text{3}$
解释：结点 $\text{5}$ 和结点 $\text{1}$ 的最近公共祖先是结点 $\text{3}$。

示例 2：

输入：$\text{root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4}$
输出：$\text{5}$
解释：结点 $\text{5}$ 和结点 $\text{4}$ 的最近公共祖先是结点 $\text{5}$。因为根据定义最近公共祖先结点可以为结点本身。

示例 3：

输入：$\text{root = [1,2], p = 1, q = 2}$
输出：$\text{1}$

数据范围

• 树中结点数目在范围 ${\text{[2, 10}}^{\text{5}}\text{]}$ 内
• ${\text{-10}}^{\text{9}}\le \text{Node.val}\le {\text{10}}^{\text{9}}$
• 所有 $\text{Node.val}$ 各不相同
• $\text{p}\ne \text{q}$
• $\text{p}$ 和 $\text{q}$ 均存在于给定的二叉树中

解法一

思路和算法

二叉树中的每个结点对应一条从根结点到该结点的路径。对于结点 $p$ 和 $q$，其对应的路径一定存在重合部分，重合部分的结点都是 $p$ 和 $q$ 的公共祖先，其中深度最大的公共祖先即为最近公共祖先。

考虑示例 1 和示例 2 使用的二叉树。

示例 1 中，$p=5$，$q=1$。结点 $5$ 对应的路径是 $[3,5]$，结点 $1$ 对应的路径是 $[3,1]$，唯一的公共祖先是 $3$，最近公共祖先是 $3$。

示例 2 中，$p=5$，$q=4$。结点 $5$ 对应的路径是 $[3,5]$，结点 $4$ 对应的路径是 $[3,5,2,4]$，公共祖先是 $3$ 和 $5$，最近公共祖先是 $5$。

当遍历到一个结点时，即可得到从根结点到该结点的路径，将路径反转之后即可得到从该结点到根结点的路径。对于结点 $p$ 和 $q$ 分别得到从当前结点到根结点的路径，两条路径相交处的结点即为最近公共祖先。

为了得到反向路径，需要使用哈希表存储每个结点的父结点。对二叉树深度优先搜索，在遍历过程中将每个结点的父结点存入哈希表。遍历结束之后，从结点 $p$ 出发，每次移动到当前结点的父结点，直到到达根结点时，即得到从结点 $p$ 到根结点的路径。在寻找从结点 $p$ 到根结点的路径的过程中，使用哈希集合存储访问过的结点。然后从结点 $q$ 出发，每次移动到当前结点的父结点，寻找从结点 $q$ 到根结点的路径，第一个遇到的在哈希集合中的结点即为最近公共祖先。

代码

class Solution {
    Map<TreeNode, TreeNode> parentMap = new HashMap<TreeNode, TreeNode>();
    Set<TreeNode> visited = new HashSet<TreeNode>();

    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        dfs(root);
        TreeNode node = p;
        while (node != null) {
            visited.add(node);
            node = parentMap.get(node);
        }
        TreeNode ancestor = q;
        while (!visited.contains(ancestor)) {
            ancestor = parentMap.get(ancestor);
        }
        return ancestor;
    }

    public void dfs(TreeNode node) {
        TreeNode left = node.left, right = node.right;
        if (left != null) {
            parentMap.put(left, node);
            dfs(left);
        }
        if (right != null) {
            parentMap.put(right, node);
            dfs(right);
        }
    }
}
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复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉树的结点数。深度优先搜索访问每个结点一次，需要 $O(n)$ 的时间，对于结点 $p$ 和结点 $q$，寻找从当前结点到根结点的路径的时间不超过 $O(n)$，因此总时间复杂度是 $O(n)$。

• 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉树的结点数。空间复杂度主要是哈希表、哈希集合和栈的空间，哈希表需要 $O(n)$ 的空间存储每个结点的父结点，哈希集合和栈的空间取决于二叉树的高度，二叉树的高度不超过 $O(n)$，因此总空间复杂度是 $O(n)$。

解法二

思路和算法

考虑二叉树中的每个结点，可能有以下情况。

1. 如果 $p$ 和 $q$ 中的一个结点是当前结点，另一个结点在以当前结点为根结点的子树中，则当前结点即为 $p$ 和 $q$ 的最近公共祖先。

2. 如果 $p$ 和 $q$ 分别位于当前结点的左子树和右子树中，则当前结点即为 $p$ 和 $q$ 的最近公共祖先。

3. 如果 $p$ 和 $q$ 位于当前结点的同一个子树中，则 $p$ 和 $q$ 的最近公共祖先位于当前结点的同一个子树中。

上述情况中的情况 1 和情况 2 为当前结点是 $p$ 和 $q$ 的最近公共祖先，对于情况 3，需要在子树中继续寻找 $p$ 和 $q$ 的最近公共祖先，最近公共祖先一定满足情况 1 或情况 2。因此，最近公共祖先可能的情况一共有两种。

为了寻找最近公共祖先，需要从根结点开始深度优先搜索。对于每个结点，在当前子树中寻找 $p$ 和 $q$ 是否存在，如果 $p$ 和 $q$ 都存在则返回最近公共祖先，如果 $p$ 和 $q$ 只存在一个则返回存在的结点。以下将 $p$ 和 $q$ 统称为「目标结点」。

具体做法如下。

1. 如果当前结点为 $p$ 或 $q$，则返回当前结点。

2. 否则，在当前结点的左子树和右子树中分别寻找 $p$ 和 $q$。

   • 如果两个子树中都存在目标结点，则 $p$ 和 $q$ 分别在两个子树中，当前结点即为最近公共祖先。

   • 如果只有一个子树中存在目标结点，则在该子树中寻找最近公共祖先。

上述过程是一个递归的过程，递归的终止条件是当前结点为 $p$ 或 $q$，其余情况则调用递归。

对于每个结点，首先访问其子结点寻找目标结点和公共祖先，然后根据访问子结点的结果得到当前结点的结果。计算结果的顺序是先计算子结点的结果，后计算当前结点的结果，该顺序实质是后序遍历。由于在计算每个结点的结果时，该结点的子结点的结果已知，该结点的结果由子结点的结果决定，因此可以确保结果正确。

代码

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if (root == p || root == q) {
            return root;
        }
        TreeNode leftAncestor = null, rightAncestor = null;
        if (root.left != null) {
            leftAncestor = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        }
        if (root.right != null) {
            rightAncestor = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        }
        if (leftAncestor != null && rightAncestor != null) {
            return root;
        }
        return leftAncestor != null ? leftAncestor : rightAncestor;
    }
}
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复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉树的结点数。每个结点都被访问一次。

• 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉树的结点数。空间复杂度主要是递归调用的栈空间，取决于二叉树的高度，最坏情况下二叉树的高度是 $O(n)$。