【数据结构】树和二叉树

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前言

回顾一下前面几期，我们学习了数据结构中的顺序表、单链表、双向链表、栈和队列，它们有个共同的特点：都是线性的数据结构。而接下来，我们要学习一种非线性的数据结构---->二叉树

一、树概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。如下 （左图：现实中的树；右图：数据结构中的树）：

一颗树具有以下几个特点：

• 每颗树有一个唯一的特殊节点，称作根结点，根节点没有前驱结点，上面的A就是根结点。
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱结点，可以有0个或多个后继结点。
• 由此可见，树可以看作"根节点"+n个子树组成，而每个子树又可以看作"根节点"+n个子树组成。即树是递归定义的。
  

1.2 树的相关概念

1.3 数的表示

树是一种非线性结构，相对于线性表，树要存储表示起来就比较复杂了。不仅要保存当前结点的值，也要保存结点和结点之间的关系(亲缘关系)。实际中树有很多种表示方式，例如：双亲表示法（结点的指针指向双亲），孩子表示法（结点的指针指向孩子）、孩子双亲表示法（二者混合）以及孩子兄弟表示法（下面介绍）等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。以下是孩子兄弟表示法的结构体和图例：

//孩子兄弟表示法
typedef int TDataType;
struct Node
{
    struct Node* Child; // 第一个孩子结点
    struct Node* Brother; // 指向其下一个兄弟结点
    TDataType data; // 结点中的数据域
};
1
2
3
4
5
6
7
8

其中Child指针域指向第一个孩子结点，Brother指针域指向其下一个兄弟结点。通过这种方式，我们不仅可以有效解决孩子表示法中孩子指针的个数无法合理控制的问题，还能很好地表示出每个结点之间的关系。

1. 已知B结点，需要找到F结点：只需通过B结点的Child指针找到D，然后再通过D的Brother指针找到E，最后通过E的Brother指针找到F即可。
2. 已知A结点，需要知道G结点的信息：通过A结点的Child指针找到C，然后再通过B的Brother指针找到C，最后通过C的Child指针找到G即可。

1.4 树在实际中的应用

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二、二叉树概念及结构

2.1 二叉树的概念

我们规定二叉树就是一颗度不大于2的树。我们上面说到树是由根结点和多颗子树构成的，二叉树就是由根结点和别名为左子树、右子树的两颗树组成。下面就是一颗二叉树：

从上图我们可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树

1. 满二叉树

一个二叉树，如果每一层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树

完全二叉树是一种效率很高的数据结构。对于深度为K，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 注意：满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

1、若规定根结点的层数为1，则一颗非空二叉树上的第i层最多有2^(i-1)个结点。

2、若规定根结点的层数为1，则一颗深度为h(h>=1)的二叉树最多有2^h-1个结点（满二叉树)。

3、对于任何一颗二叉树，如果度为0的结点有n0个，度为2的结点有n2个，则有n0=n2+1。

4、若规定根结点的层数为1，则具有n个结点的满二叉树的深度h=log2(n+1)。

5、对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若i>0，则i位置节点的双亲序号为(i-1)/2（表示向下取整)
2. 若i=0，则i为根节点编号，无双亲节点
3. 若2i+1
4. 若2i+2

2.4 二叉树的存储结构

二叉树的存储结构一般分为两种：顺序存储和链式存储。

1.顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，利用下标表示结点之间的关系(性质5)。一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树则会造成空间浪费。而现实中使用中只有堆(一种完全二叉树)才会使用数组来存储，关于堆我们放到后面的篇章专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。如下：

2.链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用指针来指示每个结点的逻辑关系。链式结构又分为二叉链和三叉链。二叉链就是除了数据域，链表中还有两个指针域，分别用来指向该结点的左孩子和右孩子的存储地址，目前我们用到的基本都是二叉链。而所谓三叉链就是在二叉链的基础上再增加一个指针域指向该结点的父亲结点的存储地址，一些更复杂的数据结构如红黑树将会用到三叉链。 图示如下：

本次的内容到这里就结束啦。希望大家阅读完可以有所收获，同时也感谢各位铁汁们的支持。文章有任何问题可以在评论区留言，小羊一定认真修改，写出更好的文章~~