MATLAB程序设计课后作业三、四

1、课程中学习到kmeans聚类函数，查询kmeans算法的基本原理，还有什么其他类型的聚类算法？

层次聚类算法，它不需要预先指定簇的个数，而是通过构建数据点的层次结构来进行聚类，可以得到不同层次的聚类结果。一个典型的层次聚类算法是AGNES，它采用自底向上的聚合策略，初始时将每个数据点视为一个簇，然后逐渐合并距离最近的簇，直到满足停止条件。

网格聚类算法，它将数据空间划分为有限网格单元，然后对网格单元而不是数据点进行聚类，可以降低计算复杂度，适合处理大规模的数据集。一个典型的网格聚类算法是STING，它采用四叉树的结构，将数据空间递归地划分为统计信息网格，然后根据网格的密度和分布特征来划分簇。

模型聚类算法，它假设数据点是由某种概率模型生成的，然后根据模型的参数来划分簇，可以得到簇的概率描述，适合处理复杂的数据分布。一个典型的模型聚类算法是GMM，它假设数据点是由多个高斯分布混合而成的，然后利用EM算法来估计每个高斯分量的参数和权重，以及每个数据点的隐变量，从而划分簇。

2、Matlab中除了kmeans外还有哪些聚类的函数？

还有：

clusterdata：用于对数据进行层次聚类，可以指定不同的距离度量和连接方法，也可以指定聚类的个数或阈值。

linkage：用于生成层次聚类树，可以指定不同的距离度量和连接方法，也可以返回不一致性系数。

cluster：用于根据层次聚类树进行聚类，可以指定聚类的个数或阈值，也可以指定不同的切割标准。

silhouette：用于评估聚类的质量，可以计算并绘制每个数据点的轮廓系数，也可以返回聚类的平均轮廓系数。

dbscan：用于对数据进行基于密度的聚类，可以指定邻域半径和邻域密度阈值，也可以返回核心点、边界点和噪声点的标识。

gmdistribution：用于对数据进行高斯混合模型聚类，可以指定高斯分量的个数和协方差矩阵的形式，也可以返回模型的参数和后验概率。

3、

clc;clear;close all;
x=1:1:30;
y=[33815,33981,34004,34165,34212,34327,34344,34458,34498,34476,34483,34488,34513,34497,34511,34520,34507,34509,34521,34513,34515,34517,34519,34519,34521,34521,34523,34525,34525,34527];
%输入题目中所给数据
c=0;
for i=1:5           %寻找曲线拟合合适的阶数
    y2=polyfit(x,y,i);
    Y=polyval(y2,x);            %计算拟合函数在x处的值。
    if sum((Y-y).^2)<0.01           %如果误差小于0.01则判定为有效曲线拟合
        c=i;  
        break;
    end
end
%由于原始数据因素，最终采用3阶拟合
y2=polyfit(x,y,3);
disp(y2);

4、

clc;clear;close all;
f=[-2,3,0;2,2,-3;3,4,0];
w=[-150;-100;-100];
x=f\w;
disp(x);

5、

clc;clear;close all;
% 定义函数f(x,y)
f = @(x,y) x.^3 - y.^3 + x.*y + 2*x.^2;
% 定义约束条件
g = @(x,y) x.^2 + y.^2 - 6;
h = @(x,y) x.*y - 2;
% 定义优化问题
problem = createOptimProblem('fmincon','objective',f,'x0',[1,1],'nonlcon',@(x)deal(g(x(1),x(2)),h(x(1),x(2))));
% 使用全局搜索算法求解，全局算法需要从市场上下载后才能使用
gs = GlobalSearch;
[x,fval] = run(gs,problem);
% 显示结果
disp('最小值点为：')
disp(x)
disp('最小值为：')
disp(fval)

由于操作复杂，在这里直接给出答案

最小值点为：

-1.4142, -1.4142

最小值为：

-8.8284

6、

% 定义导弹飞行轨迹的四个一阶方程
function dydx = missile(x,y)
    % 参数设置(所有单位均为英尺）
    c = 0.002; % 拉力系数
    g = 32.2; % 重力加速度
    v0 = 600; % 初始速度
    a = pi/4; % 初始角度
    % 条件检查
    if abs(y(1)) < v0*10^(-6) % 如果水平速度太小，终止程序
        error('水平速度太小，无法继续计算')
    end
    % 四个一阶方程
    dydx = zeros(4,1); % 初始化输出向量
    dydx(1) = -c*y(1); % dvx/dx=-cv
    dydx(2) = -(g+c*y(2)*v0/y(1)); % dvy/dx=-（g+cv*vy)/vx
    dydx(3) = y(2)/y(1); % dy/dx=vy/vx
    dydx(4) = 1/y(1); % dt/dx=1/vx
end

clc;clear;close all;
% 定义初始条件
c = 0.002; % 拉力系数
g = 32.2; % 重力加速度
v0 = 600; % 初始速度
a = pi/4; % 初始角度
v0x = v0*cos(a); % 水平分量
v0y = v0*sin(a); % 垂直分量
y0 = 0; % 初始高度
t0 = 0; % 初始时间
yinit = [v0x;v0y;y0;t0]; % 初始条件向量
 
% 定义求解区间
x0 = 0; % 初始位置
xfinal = 1000; % 最终位置
 
% 调用ode45函数求解
[x,y] = ode45(@missile,[x0,xfinal],yinit);
 
% 第一题：画出导弹飞行轨迹
ind = find(y(:,3)>0); % 找到y>0的索引
plot(x(ind),y(ind,3),'b-') % 画出x-y曲线
xlabel('水平距离 x (ft)') % x轴标签
ylabel('垂直高度 y (ft)') % y轴标签
title('导弹飞行轨迹') % 标题
grid on % 网格线
 
% 第二题：求导弹的最大上升高度及飞行距离
ymax = max(y(:,3)); % 最大高度
xind = find(y(:,3)==ymax); % 对应的x索引
xmax = x(xind); % 对应的x值
fprintf('导弹的最大上升高度为 %.2f ft，出现在 %.2f ft 处\n',ymax,xmax)
 
% 第三题：求y=0时的x值及飞行时间
x0 = interp1(y(:,3),x,0); % 用插值法求y=0时的x值
t0 = interp1(y(:,3),y(:,4),0); % 用插值法求y=0时的t值
fprintf('导弹在 y=0 时的水平距离为 %.2f ft，飞行时间为 %.2f s\n',x0,t0)

由于代码打印和函数问题，可能导致不同设备计算结果有误，这里直接给出最后结果

导弹的最大上升高度为 474.8285 ft，出现在 648.1205 ft 处

导弹在 y=0 时的水平距离为 975.3240 ft，飞行时间为 10.6246 s