• AM@幂级数性质@幂级数和函数求解

    文章目录

    幂级数性质

    • 和多项式有相似的性质
    • 本文介绍用幂级数的性质求解幂级数和函数的两个例子

    四则运算性质

    • 若幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum_{n=0}^{\infin}a_{n}x^{n} ∑n=0∞​an​xn(1)的收敛半径为 R 1 R_1 R1​,和函数为 S 1 ( x ) S_1(x) S1​(x)

      • 幂级数 ∑ n = 0 ∞ b n x n \sum_{n=0}^{\infin}b_{n}x^{n} ∑n=0∞​bn​xn(2)的收敛半径为 R 2 R_2 R2​,和函数为 S 2 ( x ) S_2(x) S2​(x)
      • 令 R = min ⁡ {   R 1 , R 2   } R=\min\set{R_1,R_2} R=min{R1​,R2​}

    • 则:

      1. ∑ n = 0 ∞ a n x n ± ∑ n = 0 ∞ b n x n \sum_{n=0}^{\infin}a_{n}x^{n}\pm{\sum_{n=0}^{\infin}b_{n}x^{n}} ∑n=0∞​an​xn±∑n=0∞​bn​xn= ∑ n = 0 ∞ ( a n ± b n ) x n \sum_{n=0}^{\infin}(a_{n}\pm{b_{n}})x^{n} ∑n=0∞​(an​±bn​)xn= S 1 ( x ) ± S 1 ( x ) S_1(x)\pm{S_1(x)} S1​(x)±S1​(x),(3) x ∈ ( − R , R ) x\in{(-R,R)} x∈(−R,R)

      2. ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ( ∑ n = 0 ∞ b n x n ) (\sum_{n=0}^{\infin}a_{n}x^{n})(\sum_{n=0}^{\infin}b_{n}x^{n}) (∑n=0∞​an​xn)(∑n=0∞​bn​xn)= ∑ n = 0 ∞ T n x n \sum_{n=0}^{\infin}{T_{n}}x^{n} ∑n=0∞​Tn​xn= S 1 ( x ) S 2 ( x ) S_1(x)S_2(x) S1​(x)S2​(x)(4)

        • 多项式乘法中, n n n次项幂的系数表示为 a i b n − i a_{i}b_{n-i} ai​bn−i​,其中 a i , b n − i a_{i},b_{n-i} ai​,bn−i​分别是 S 1 ( x ) S_1(x) S1​(x), S 2 ( x ) S_2(x) S2​(x)中的 i i i次项系数和 n − i n-i n−i次项系数
        • a i x i b n − i x n − i a_{i}x^{i}b_{n-i}x^{n-i} ai​xibn−i​xn−i= a i b n − i x n a_{i}b_{n-i}x^{n} ai​bn−i​xn, i = 0 , 1 , 2 , ⋯   , n i=0,1,2,\cdots,n i=0,1,2,⋯,n(5)
        • 若令 S 1 ( x ) S 2 ( x ) S_1(x)S_2(x) S1​(x)S2​(x)的 n n n次幂的系数为 T n T_n Tn​,则 T n T_{n} Tn​= ∑ i = 0 n a i b n − i \sum_{i=0}^{n}a_ib_{n-i} ∑i=0n​ai​bn−i​(6)
        • 因此式(4)为 ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ( ∑ n = 0 ∞ b n x n ) (\sum_{n=0}^{\infin}a_{n}x^{n})(\sum_{n=0}^{\infin}b_{n}x^{n}) (∑n=0∞​an​xn)(∑n=0∞​bn​xn)= ∑ n = 0 ∞ ( ∑ i = 0 n a i b n − i ) x n \sum_{n=0}^{\infin}{(\sum_{i=0}^{n}a_ib_{n-i})}x^{n} ∑n=0∞​(∑i=0n​ai​bn−i​)xn

      3. ∑ n = 0 ∞ a n x n ∑ n = 0 ∞ b n x n \Large{\frac{\sum_{n=0}^{\infin}a_{n}x^{n}}{\sum_{n=0}^{\infin}b_{n}x^{n}}} ∑n=0∞​bn​xn∑n=0∞​an​xn​= ∑ n = 0 ∞ c n x n \sum_{n=0}^{\infin}c_{n}x^{n} ∑n=0∞​cn​xn(7)

        • 其中 c n c_{n} cn​, n = 1 , 2 , ⋯   . n=1,2,\cdots. n=1,2,⋯.的确定比乘法中 T n T_{n} Tn​的确定复杂一些
          • 显然 ∑ n = 0 ∞ b n x n ⋅ ∑ n = 0 ∞ c n x n \sum_{n=0}^{\infin}b_{n}x^{n} \cdot \sum_{n=0}^{\infin}c_{n}x^{n} ∑n=0∞​bn​xn⋅∑n=0∞​cn​xn= ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum_{n=0}^{\infin}{a_{n}}x^{n} ∑n=0∞​an​xn(8),而系数 c n c_n cn​就是通过此方程式确定
          • 由式(4)性质可知, Q n Q_{n} Qn​= ∑ i = 0 n b i c n − i \sum_{i=0}^{n}b_ic_{n-i} ∑i=0n​bi​cn−i​,再比较式(8)两端系数,可知 a n a_{n} an​= ∑ i = 0 n b i c n − i \sum_{i=0}^{n}b_ic_{n-i} ∑i=0n​bi​cn−i​(9)
            • 分别令 n = 0 , 1 , 2 , ⋯ n=0,1,2,\cdots n=0,1,2,⋯可以从 ( 9 ) (9) (9)产生一系列方程
              • a 0 a_0 a0​= b 0 c 0 b_0c_{0} b0​c0​
              • a 1 a_1 a1​= b 0 c 1 + b 1 c 0 b_0c_{1}+b_{1}c_{0} b0​c1​+b1​c0​
              • a 2 a_{2} a2​= b 2 c 0 + b 1 c 1 + b 0 c 2 b_2c_0+b_1c_1+b_0c_2 b2​c0​+b1​c1​+b0​c2​
              • ⋯ \cdots ⋯
            • 依次求解方程组 n = 0 , 1 , 2 , ⋯   , k n=0,1,2,\cdots,k n=0,1,2,⋯,k的方程,即可依次求得 c 0 , c 1 , c 2 ⋯ c_0,c_1,c_{2}\cdots c0​,c1​,c2​⋯
            • 上述方法式递推法求解系数 c n c_n cn​,如果要求 c k c_k ck​,就要求阶 k k k个方程
          • 此时式(7)的收敛域可能比原来的两个级数的收敛域小得多

    分析性质

    • 和多项式类似的分项积分和分项求导性质,并且不改变收敛区间

    • 设幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum_{n=0}^{\infin}a_{n}x^{n} ∑n=0∞​an​xn的和函数为 s ( x ) s(x) s(x),收敛域为 I I I

      • s ( x ) s(x) s(x)在 I I I上连续

      • s ( x ) s(x) s(x)在 I I I上可积,且有逐项积分公式(变上限积分): ∫ 0 x s ( t ) d t \int_{0}^{x}s(t)\mathrm{d}t ∫0x​s(t)dt= ∫ 0 x [ ∑ n = 0 ∞ a n t n ] d t \int_{0}^{x}[\sum_{n=0}^{\infin}a_{n}t^{n}]\mathrm{d}t ∫0x​[∑n=0∞​an​tn]dt= ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 x a n t n d t \sum_{n=0}^{\infin}\int_{0}^{x}a_{n}t^{n}\mathrm{d}t ∑n=0∞​∫0x​an​tndt= ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 x n + 1 \sum_{n=0}^{\infin}\frac{a_{n}}{n+1}{x^{n+1}} ∑n=0∞​n+1an​​xn+1, ( x ∈ I ) (x\in{I}) (x∈I)

        • 积分区间为 [ 0 , x ] [0,x] [0,x]
        • 逐项积分后,所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径

      • s ( x ) s(x) s(x)在 ( − R , R ) (-R,R) (−R,R)内可导,且有逐项求导公式 s ′ ( x ) s'(x) s′(x)= ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ′ (\sum_{n=0}^{\infin}a_{n}x^{n})' (∑n=0∞​an​xn)′= ∑ n = 0 ∞ ( a n x n ) ′ \sum_{n=0}^{\infin}(a_{n}x^{n})' ∑n=0∞​(an​xn)′= ∑ n = 0 ∞ n a n x n − 1 \sum_{n=0}^{\infin}na_{n}x^{n-1} ∑n=0∞​nan​xn−1, ( ∣ x ∣ < R ) (|x|(∣x∣<R)

        • 逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径

        • 注意,虽然收敛半径相同,但是收敛域不一定相同,求导可能收敛域对应得端点处不再收敛

        • 例如原幂级数的收敛域为 [ − R , R ) [-R,R) [−R,R),那么求导后的半径变为 ( − R , R ) (-R,R) (−R,R),显然两个区间不相等;但如果原幂级数的收敛域为 ( − R , R ) (-R,R) (−R,R),那么求导后的级数收敛域不变

        • 反复应用上述结论可知, s ( x ) s(x) s(x)在其**收敛区间 ( − R , R ) (-R,R) (−R,R)**内具有任意阶导数

    求解和函数

    • 分析性质可以用于求解幂级数的和函数,也就是幂级数收敛于什么函数 s ( x ) s(x) s(x)
    • 第一步就是要求解收敛域,这时和函数的定义域
      • 求出收敛半径 R R R
      • 再检验 x = ± R x=\pm{R} x=±R是的敛散性,以确定收敛域

    例

    • 求 ∑ n = 0 ∞ x n n + 1 \sum_{n=0}^{\infin}\frac{x^{n}}{n+1} ∑n=0∞​n+1xn​的收敛域以及和函数 s ( x ) s(x) s(x)
    • (1)
      • 判断级数类型:该级数是一个幂级数,并且是标准形
      • 确定通项的系数: a n a_n an​= 1 n + 1 \frac{1}{n+1} n+11​
      • 观察 a n a_{n} an​考虑使用比值式考察其是否收敛(敛散性),
      • ρ \rho ρ= lim ⁡ n → ∞ n + 1 n + 2 \lim\limits_{n\to\infin}\frac{n+1}{n+2} n→∞lim​n+2n+1​= 1 1 1, R = 1 ρ R=\frac{1}{\rho} R=ρ1​=1
      • 说明原级数收敛,且收敛半径为 R = 1 R=1 R=1,收敛区间就是 ( − 1 , 1 ) (-1,1) (−1,1)
      • 考察区间端点处,对应的常数项级数:
        • x = − 1 x=-1 x=−1时,通项为 ( − 1 ) n n + 1 \frac{(-1)^{n}}{n+1} n+1(−1)n​,对应的常数项级数为 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + 1 \sum_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^{n}}{n+1} ∑n=0∞​n+1(−1)n​= 1 − 1 2 + ⋯ 1-\frac{1}{2}+\cdots 1−21​+⋯
          • 这时一个交错级数,由Leibniz定理, 1 n + 1 \frac{1}{n+1} n+11​递减,且 1 n + 1 → 0 ( n → ∞ ) \frac{1}{n+1}\to{0}(n\to{\infin}) n+11​→0(n→∞)
          • 可知该级数收敛
        • x = 1 x=1 x=1时,幂级数称为 ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 \sum_{n=0}^{\infin}\frac{1}{n+1} ∑n=0∞​n+11​= ∑ n = 1 ∞ 1 n \sum_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n} ∑n=1∞​n1​,是调和级数,其显然是发散的
        • 综上,收敛域为 I = [ − 1 , 1 ) I=[-1,1) I=[−1,1)
    • (2)
      • 求 s ( x ) s(x) s(x)就是在收敛域内,要将级数形式化简为非求和形式
      • 令 s ( x ) s(x) s(x)= ∑ n = 0 ∞ x n n + 1 \sum_{n=0}^{\infin}\frac{x^{n}}{n+1} ∑n=0∞​n+1xn​(1), x ∈ [ − 1 , 1 ) x\in[-1,1) x∈[−1,1)
        • 式(1)两边同时乘以 x x x, x s ( x ) xs(x) xs(x)= ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1 \sum_{n=0}^{\infin}\frac{x^{n+1}}{n+1} ∑n=0∞​n+1xn+1​= ∑ n = 1 ∞ x n n \sum_{n=1}^{\infin}\frac{x^{n}}{n} ∑n=1∞​nxn​(2), x ∈ [ − 1 , 1 ) x\in[-1,1) x∈[−1,1)
        • 对(2)两边求导,并由逐项求导公式,得 ( x s ( x ) ) ′ (xs(x))' (xs(x))′= ∑ n = 1 ∞ x n − 1 \sum_{n=1}^{\infin}{x^{n-1}} ∑n=1∞​xn−1= 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + ⋯ 1+x+x^2+\cdots+x^{n}+\cdots 1+x+x2+⋯+xn+⋯, x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x∈(−1,1)(3)
          • Note:求导后收敛区间为 ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣x∣<1,即 x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x∈(−1,1)
        • 而我们知道常用级数 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1​= 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + ⋯ 1+x+x^2+\cdots+x^{n}+\cdots 1+x+x2+⋯+xn+⋯, x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x∈(−1,1)(4)
        • 比较(3,4)可得 ( x s ( x ) ) ′ (xs(x))' (xs(x))′= 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1​, x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x∈(−1,1)(5)
          • 对上式从 0 0 0到 x x x积分,得 x s ( x ) xs(x) xs(x)= ∫ 0 x 1 1 − t d t \int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\mathrm{d}t ∫0x​1−t1​dt= − ln ⁡ ∣ t − 1 ∣ ∣ 0 x -\ln|t-1||_{0}^{x} −ln∣t−1∣∣0x​= − ln ⁡ ∣ x − 1 ∣ -\ln|x-1| −ln∣x−1∣ (6), x ∈ [ − 1 , 1 ) x\in[-1,1) x∈[−1,1)
        • 方法2:
          • 这里可以不处理为 x s ( x ) xs(x) xs(x),而直接变形为: s ( x ) s(x) s(x)= 1 x ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1 \frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infin}\frac{x^{n+1}}{n+1} x1​∑n=0∞​n+1xn+1​= 1 x ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 n t n d t \frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infin}\int_{0}^{n}t^{n}\mathrm{d}t x1​∑n=0∞​∫0n​tndt= 1 x ∫ 0 n ( ∑ n = 0 ∞ t n ) d t \frac{1}{x}\int_{0}^{n}(\sum_{n=0}^{\infin}t^{n})\mathrm{d}t x1​∫0n​(∑n=0∞​tn)dt
          • 再利用常用已知级数 ∑ n = 0 ∞ t n \sum_{n=0}^{\infin}t^{n} ∑n=0∞​tn= 1 1 − t \frac{1}{1-t} 1−t1​, t ∈ ( − 1 , 1 ) t\in(-1,1) t∈(−1,1),得 s ( x ) s(x) s(x)= 1 x ∫ 0 n ( 1 1 − t ) d t \frac{1}{x}\int_{0}^{n}(\frac{1}{1-t})\mathrm{d}t x1​∫0n​(1−t1​)dt,同样得到式(6)
        • 当 x ≠ 0 x\neq{0} x=0时,有 s ( x ) s(x) s(x)= − 1 x ln ⁡ ( 1 − x ) -\frac{1}{x}\ln(1-x) −x1​ln(1−x)(7)
        • 当 x = 0 x=0 x=0,
          • s ( 0 ) = a 0 = 1 s(0)=a_{0}=1 s(0)=a0​=1
            • ∑ n = 0 ∞ 0 n n + 1 \sum_{n=0}^{\infin}\frac{0^{n}}{n+1} ∑n=0∞​n+10n​= 0 0 0 + 1 \frac{0^{0}}{0+1} 0+100​+ ∑ n = 1 ∞ 0 n n + 1 \sum_{n=1}^{\infin}\frac{0^{n}}{n+1} ∑n=1∞​n+10n​= 1 + 0 1+0 1+0= 1 1 1,这里约定 0 0 = 1 0^{0}=1 00=1
          • 或者也可以由 s ( x ) s(x) s(x)是连续的性质可以由极限式 lim ⁡ x → 0 ( − 1 x ln ⁡ ( 1 − x ) ) \lim\limits_{x\to{0}}(-\frac{1}{x}\ln(1-x)) x→0lim​(−x1​ln(1−x))= lim ⁡ x → 0 ( − − x x ) \lim\limits_{x\to{0}}(-\frac{-x}{x}) x→0lim​(−x−x​)=1,从而 s ( 0 ) s(0) s(0)=1
            • ln ⁡ ( 1 − x ) ∼ − x \ln(1-x)\sim{-x} ln(1−x)∼−x, ( − x → 0 ) (-x\to{0}) (−x→0)
            • 或者洛必达法则计算

    例

    • 令 u n u_{n} un​= ( − 1 ) n − 1 n x n − 1 (-1)^{n-1}nx^{n-1} (−1)n−1nxn−1,求幂级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin} u_{n} ∑n=1∞​un​的和函数
    • (1)求收敛半径
      • 方法1:
        • ∣ u n ∣ |u_{n}| ∣un​∣= ∣ n x n − 1 ∣ |nx^{n-1}| ∣nxn−1∣, ∣ u n ∣ n \sqrt[n]{|u_{n}|} n∣un​∣ ​= ∣ x ∣ n x − 1 n |x|\sqrt[n]{nx^{-1}} ∣x∣nnx−1 ​
        • lim ⁡ n → ∞ u n n \lim\limits_{n\to{\infin}}\sqrt[n]{u_{n}} n→∞lim​nun​ ​= lim ⁡ n → ∞ ∣ u n ∣ n \lim\limits_{n\to{\infin}}\sqrt[n]{|u_{n}|} n→∞lim​n∣un​∣ ​= ∣ x ∣ |x| ∣x∣,当 ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣x∣<1时,级数收敛,所以收敛半径为 R = 1 R=1 R=1
      • 方法2:
        • 幂级数的系数为 a n a_{n} an​= ( − 1 ) n − 1 n (-1)^{n-1}n (−1)n−1n, ∣ a n + 1 a n ∣ |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| ∣an​an+1​​∣= n + 1 n \frac{n+1}{n} nn+1​
        • 从而 ρ \rho ρ= lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ \lim\limits_{n\to{\infin}}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| n→∞lim​∣an​an+1​​∣= 1 1 1,半径为 R = 1 ρ R=\frac{1}{\rho} R=ρ1​=1
      • 方法3:(最为方便)
        • ∣ a n ∣ n \sqrt[n]{|a_n|} n∣an​∣ ​= n n \sqrt[n]{n} nn ​
        • 从而 ρ \rho ρ= lim ⁡ n → ∞ ∣ a n ∣ \lim\limits_{n\to{\infin}}\sqrt{|a_n|} n→∞lim​∣an​∣ ​= lim ⁡ n → ∞ n n \lim\limits_{n\to{\infin}}\sqrt[n]{n} n→∞lim​nn ​= 1 1 1
    • (2)求收敛域:
      • x = − 1 x=-1 x=−1时,得常数项级数 ∑ n = 1 ∞ n \sum_{n=1}^{\infin}n ∑n=1∞​n,显然发散
      • x = 1 x=1 x=1,时,得常数项级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n \sum_{n=1}^{\infin}(-1)^{n-1}n ∑n=1∞​(−1)n−1n,此级数发散
      • 事实上, x = ± 1 x=\pm{1} x=±1时,两个级数的一般项在 n → ∞ n\to{\infin} n→∞时不趋于0,所以发散
      • 所以收敛域为 ( − 1 , 1 ) (-1,1) (−1,1)
    • (3)确定和函数
      • s ( x ) s(x) s(x)= ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin} u_{n} ∑n=1∞​un​, x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in{(-1,1)} x∈(−1,1)
      • 两边积分作 [ 0 , x ] [0,x] [0,x]区间上的积分: ∫ 0 x s ( t ) d t \int_{0}^{x}s(t)\mathrm{d}t ∫0x​s(t)dt= ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 x ( − 1 ) n − 1 n t n − 1 d t \sum_{n=1}^{\infin} \int_{0}^{x}(-1)^{n-1}nt^{n-1}\mathrm{d}t ∑n=1∞​∫0x​(−1)n−1ntn−1dt= ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 x n \sum_{n=1}^{\infin}(-1)^{n-1}x^{n} ∑n=1∞​(−1)n−1xn= x − x 2 + x 3 − ⋯ x-x^2+x^3-\cdots x−x2+x3−⋯(1)
        • 考虑常用的已知级数 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1​= 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ 1+x+x^2+x^3+\cdots 1+x+x2+x3+⋯(2),有 1 1 − ( − x ) \frac{1}{1-(-x)} 1−(−x)1​= 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ 1-x+x^2-x^3+\cdots 1−x+x2−x3+⋯= 1 1 + x \frac{1}{1+x} 1+x1​(3)
        • 可知式(1)可以表示为 − ( 1 1 + x − 1 ) -(\frac{1}{1+x}-1) −(1+x1​−1)= x 1 + x \frac{x}{1+x} 1+xx​
        • 因此 ∫ 0 x s ( t ) d x \int_{0}^{x}s(t)\mathrm{d}x ∫0x​s(t)dx= x 1 + x \frac{x}{1+x} 1+xx​,两边求导,得 s ( x ) s(x) s(x)= 1 + x − x ( x + 1 ) 2 \frac{1+x-x}{(x+1)^2} (x+1)21+x−x​= 1 ( 1 + x ) 2 \frac{1}{(1+x)^2} (1+x)21​, x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x∈(−1,1)
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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/xuchaoxin1375/article/details/134480689