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“三门问题”是一道经典的逻辑推理题,也称为“三羊问题”或“蒙提霍尔问题”。
问题描述为:有三扇关闭的门,其中一扇门后面有一辆汽车,另外两扇门后面各有一只山羊。参赛者可以选择其中一扇门,然后主持人会打开另外两扇门中的一扇门,露出一只山羊。参赛者可以选择是否更换选择。
问题的关键在于,是否更换选择能够增加获得汽车的概率。这个问题常常被用来说明概率思维的重要性。
解决这个问题的策略有很多,常见的包括直觉策略、随机策略、更换策略和贝叶斯策略。
但是,这两个策略都是错误的。很多人忽略的一点,也是这里我们需要特别注意一个事件——主持人一定会打开有山羊的一扇门,并且不能打开用户选择的门和有汽车的门! 主持人的操作已经影响到了事件的概率!为什么?别急,往下看。
今天看到有同学在面试遇“三门问题”,其中一个女孩子给了我她的解答,特别聪明但又不是很“灵巧”,她采取了最稳妥的概率计算方法——穷举法,如下是被面试女孩子的答案,大家可以看一下:
更换策略是一个更好的策略,选择一扇门,并在主持人展示一只山羊后更换选择。
我们列一个表,将本次所有操作事件列举出来,具体如下表所示:
第一次选择门后的物品 | 主持人打开门后出现的物品 | 更换门后得到的物品 |
---|---|---|
山羊 1 | 山羊 2 | 车 |
山羊 2 | 山羊 1 | 车 |
车 | 山羊 1/山羊 2 | 山羊 2/山羊 1 |
显而易见,如果不更换,事件未受影响,结果即为直觉策略与随机策略的结果,为 1/3,但是在“主持人一定会打开有山羊的一扇门,并且不能打开用户选择的门和有汽车的门”操作后,参赛者更换门后得到的物品为车的概率由 1/3 变成了 2/3。
贝叶斯策略是一种更加严谨的解决方式,它基于贝叶斯公式,并结合了先验概率和后验概率的概念。
我们使用贝叶斯策略解决三门问题:假设参赛者选择门 A,然后主持人打开了门 B,揭示了一只羊。现在参赛者可以选择门 A 或门 C。
我们定义事件如下:
确定先验概率和事件的条件概率:
应用贝叶斯公式:P(C | B, A) = P(B | C, A) * P(C | A) / P(B | A)= 1 * (1/3) / (1/2)= 2/3
根据计算结果得知,如果参赛者选择了门 A,并且主持人打开了门 B 揭示了一只羊,那么参赛者应该选择门 C,获得大奖的概率是 2/3。
理清解决策略之后,通过 Java 语言验证三门问题那就是简简单单,实现代码如下:
package com.bailu.test;
import java.util.Random;
/**
* "三门问题"Java验证代码
*
* @author bailucool
*
*/
public class ThreeDoors {
private static final int NUM_DOORS = 3;// 定义门的数量
private static Random random = new Random();// 随机数生成器
private static final int percent = 100;// 定义百分比
public static void main(String[] args) {
int totalGames = 10000;// 定义游戏总次数
int stayWinCar = 0;// 定义不更换门得到车的游戏次数
int switchWinCar = 0;// 定义更换门后得到车的游戏次数
for (int i = 0; i < totalGames; i++) {
int carDoor = random.nextInt(NUM_DOORS);// 随机一扇门后有汽车
int firstChoice = random.nextInt(NUM_DOORS);// 参赛者第一次选择的门
// 主持人打开另一扇有羊的门
int openedDoor;
do {
openedDoor = random.nextInt(NUM_DOORS);
// 主持人不能打开用户选择的门和有汽车的门
} while (openedDoor == firstChoice || openedDoor == carDoor);
// 计算不能换门,参赛者可以获得小汽车的次数
if (firstChoice == carDoor) {
stayWinCar++;
}
// 主持人打开另一扇有羊的门,独立事件——与第一次打开门无关
int secondChoice;
do {
secondChoice = random.nextInt(NUM_DOORS);
// 主持人不能打开用户选择的门和有汽车的门
} while (secondChoice == firstChoice || secondChoice == openedDoor);
// 计算换门后,参赛者可以获得小汽车的次数
if (secondChoice == carDoor) {
switchWinCar++;
}
}
// 将次数转换为概率,输出结果
double stayWinRate = stayWinCar * 1.0 / totalGames;
double switchWinRate = switchWinCar * 1.0 / totalGames;
System.out.println("不更换门获得小汽车的概率为:" + stayWinRate * percent + "%");
System.out.println("更换门后获得小汽车的概率为:" + switchWinRate * percent + "%");
}
}
在如上验证代码中,我们使用了一个名为 random 的随机数生成器来随机选择门,使用 NUM_DOORS 常量表示门的数量,通过使用 for 循环来进行多次试验进行模拟,最后输出每种选择情况获胜选中小汽车的次数,通过这个程序的输出结果进一步验证了更换策略的优势。
如果多几个门呢,还会吗?可别写下面这样的答案了!感兴趣的同学可以试一下下面的“四门问题”,欢迎大家把答案留言在文章下方!
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我是白鹿,一个不懈奋斗的程序猿。望本文能对你有所裨益,欢迎大家的一键三连!若有其他问题、建议或者补充可以留言在文章下方,感谢大家的支持!