不定积分第一类换元法（凑微分法）

不定积分第一类换元法（凑微分法）

$\int q(x)dx$ 将其中的  分解为 $\int f[g(x)]\cdot g(x)^{'}dx$

相当于

$q(x) = f[g(x)]\cdot g(x)^{'}$

令    那么. $du = d[g(x)] = g(x)^{'}dx$ 就可以得到

$\int f(u)du = F(u) +C = F[g(x)] + C$

例题1

$\int x\sqrt{x^2 - 1} dx$

令



那么

$dt = d[x^2 - 1]= (x^2 - 1)^{'} dx$

因为

$x \sqrt{x^2 - 1} = f[x^2 - 1] (x^2-1)^{'}$

$(x^2-1)^{'} = 2x$

所以

$f[x^2-1] = \frac{1}{2} \sqrt{x^2-1}$

$\int f(t) dt = \int \frac{1}{2} \sqrt{x^2 - 1} d(x^2 - 1)$

利用基本积分公式

$\int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C$

结果

$\int \frac{1}{2}t^{\frac{1}{2}}dt = \frac{1}{3}t^{\frac{3}{2}}+C$

$\int \frac{1}{3}(x^2 - 1)^{\frac{3}{2}} + C$

例题2

$\int \frac{t^2 + 1}{t^4 + 1} dx$

上下同除

$\int \frac{1 + t^{-2}}{t^2 + t^{-2}}dx$

接下来需要一些技巧

$\therefore t^2+\frac{1}{t^2} = (t - \frac{1}{t})^2 + 2 \\ \because \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{(t-\frac{1}{t})^{2}+2}dx$

$u = t-\frac{1}{t}$

$du = d[t - \frac{1}{t}] = (t - \frac{1}{t})^{'}dt$

$\therefore \int \frac{1}{(t-\frac{1}{t})^{2} + 2} d(t - \frac{1}{t})$

这个形式需要联想到一个基本积分公式

$\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \arctan{x} + C$

不巧是这里是2不是1需要利用技巧把2变成1

$\int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(\frac{t - \frac{1}{t}}{\sqrt{2}})^2 + 1} \cdot \sqrt{2} d(\frac{t - \frac{1}{t}}{\sqrt{2}})$

$\therefore \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan(\frac{t - \frac{1}{t}}{\sqrt{2}}) + C$
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原文地址：https://blog.csdn.net/sun_weitao/article/details/134320359

例题1

例题2