混沌系统在图像加密中的应用（基于哈密顿能量函数的混沌系统构造1.1）

前言

本文的主题是“基于哈密顿能量函数的混沌系统构造”，哈密顿能量函数是是全文研究的核心。哈密顿能量是一个系统的动能和势能之和，用公式表示

一、基于广义哈密顿系统的一类混沌系统构造

到目前为止，哈密顿系统中的混沌特性分析及其混沌控制的研究成果不是很多，关于哈密顿系统中混沌特性分析主要体现在可积或不可积的经典力学系统中。
本章的主要工作包括：
第一，提出一种基于哈密顿函数和广义哈密顿系统构造混沌系统的新方法。
第二，提出一个具有代表性的系统，分析系统存在的复杂非线性特性。
第三，从数值计算和实验这两方面观察提出的系统存在的混沌现象。

1.基本动力学特性分析

2.数值分析

-----------------------------------------------------------------(a)----------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------(b)----------------------------------------------------------------






从上图可知，这种情形下的系统存在双翼蝶形混沌吸引子。另一方面，系统的哈密顿能量函数关于时间的变化如下图所示。由此可知，系统(2.5)的哈密顿能量变化呈混沌态。

python代码

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pylab as mpl
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['Times new roman']  # 指定默认字体

def dmove(Point, t, sets):
    a, b, c, u = sets
    x, y, z = Point
    return np.array([-c * x + a * y,
                     -a * x - y * z,
                     -b * z + y * y - u])


t = np.arange(0, 300, 0.01)  # 时间序列 总共有 100/0.01=10000 个点
par_a = 1
par_b = 0
par_c = 1
par_u = 1
par = [par_a, par_b, par_c, par_u]
P = odeint(dmove, (0, -2, 0), t, args=(par,))
H = 1 / 2 * (P[:, 0]**2 + P[:, 1]**2 + P[:, 2]**2)  # 哈密顿能量
dH_dt = -par_u * P[:, 2] - par_c * P[:, 0]**2 + par_b * P[:, 2]**2

plt.figure()
plt.plot(P[:, 0], lw=1,label="x")
plt.plot(P[:, 1], lw=1,label="y")
plt.plot(P[:, 2], lw=1,label="z")
#plt.plot(H, lw=1)
plt.legend()
plt.xlabel("t", fontsize=15)
plt.ylabel("x,y,z", fontsize=15)


plt.figure()
plt.plot(P[:, 0], P[:, 1], lw=1.5, c="b")
plt.xlabel("x", fontsize=15)
plt.ylabel("y", fontsize=15)


plt.figure()
plt.plot(P[:, 1], P[:, 2], lw=1.5, c="b")
plt.xlabel("y", fontsize=15)
plt.ylabel("z", fontsize=15)

plt.figure()
plt.plot(P[:, 0], P[:, 2], lw=1.5, c="b")
plt.xlabel("x", fontsize=15)
plt.ylabel("z", fontsize=15)

plt.figure()
plt.plot(dH_dt, lw=2)
plt.xlabel("t", fontsize=15)
plt.ylabel("dH/dt", fontsize=15)
plt.axhline(0, color='red', lw=1.7, alpha=0.5)
plt.show()
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待续

后面将更新《基于哈密顿能量函数的混沌系统构造1.2》