第一章《补基础:不怕学不懂微积分》笔记

微积分包含众多知识点，例如极限概念、求导公式、乘积法则、链式法则、隐函数求导、 积分中值定理、泰勒公式等。其中，研究导数、微分及其应用的部分一般称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分一般称为积分学。微分学和积分学统称为微积分学，而微积分基本定理则将微分和积分进行关联。由于泰勒定理本质上是微积分基本定理的连用，因此从总体上来看微积分包括核心概念和关键技术，其中核心概念是微分和积分，关键技术是微积分基本定理和泰勒定理。

1.1 深入理解导数的本质

1.1.1 哲学层面理解变化

1.1.2 生活中处处有函数

1.1.3 从瞬时速度到导数

1.1.4 从近似运动来理解导数

1.1.5 直观理解复合函数求导

基本函数的复合方式总结起来主要分为 3 类:函数相加、函数相乘、函数嵌套。

(1)加法法则:基本函数相加形成的复合函数导数等于基本函数导数之和。

(2)乘法法则:基本函 数相乘形成的复合函数导数等于“前导后不导加上后导前不导”。

(3)链式法则:基本函数嵌套形成的复合函数导数等 于“外层导数与内层导数依次相乘”。

1.2 理解多元函数偏导

1.2.1 多元函数偏导数是什么

那么对于一个含有 x、y 两个变量的函数 f (x , y) ，保持 其他变量固定而关注一个变量的微小变化带来的函数值变化情况，这种变化的比值就是偏导数。

1.2.2 搞清楚梯度是什么

梯度和导数是密切相关的一对概念，实际上梯度是导数对多元函数的推广，它是多元函数对各个自变量求偏导形成的向量。

1.3 理解微积分

1.3.1 直观理解积分

1.3.2 直观理解微积分基本定理

微积分基本定理:如果函数 f (x) 在区间[a,b]上连续，并且存在 原函数 F (x)，则

1.4 泰勒公式太重要了

1.4.1 泰勒公式是什么

  泰勒公式的典型形式如下:

其中，Rn(x) 是高阶无穷小量。上述公式也称为 f (x) 在点 a 处的泰勒级数。

泰勒公式的主要作用是通过近似函数来代替原函数，通过使用简单熟悉的多项式去代替复杂的原函数。

1.4.2 泰勒公式的典型应用

根据√9=3，求√10

1.4.3 直观理解泰勒公式的来龙去脉

不同阶数多项式函数来近似代替 f = sinx 在 x = 0 附近的数值分布状况。

1.4.4 微积分基本定理与泰勒公式的关系

对于定积分公式假设 a 为定值，且 b -a = h，则上面的微积分基本定理可以写成:

我们继续对定积分进行变量代换 x =a+t，则有。如果F' (x)是连续可导函数，那么。将上面的式子进行迭代，可得:

如此循环迭代，就可以得到泰勒公式。这说明，泰勒公式本质上是微积分基本定理的多次连用，两者本质上具有统一性。