数据结构-二叉树·堆（顺序结构的实现）

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本篇文章对    树的相关概念及结构，二叉树（堆）的概念及结构，二叉树顺序结构及实现的相关知识详细讲解！二叉树链式结构 在下一章讲解！

如果您觉得文章不错，期待你的一键三连哦，你的鼓励是我创作动力的源泉，让我们一起加油，一起奔跑，让我们顶峰相见！！！🎉🎉🎉

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目录

一.树的概念及结构

1.1树的概念

相关概念：

1.2树的表示

二.二叉树的概念及结构

2.1二叉树的概念

二叉树：

2.2两个特殊的二叉树

满二叉树：

完全二叉树：

三.二叉树顺序结构及实现

3.1二叉树顺序结构

堆在存储的分类：大根堆，小根堆

3.2二叉树（堆）顺序结构的实现

这里重点分析向上/向下调整的函数

向上调整：

向下调整：

完整代码：Heap.h    Heap.c     

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一.树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由k个节点（k>=0）组成的具有层次关系的一个集合，如图一所示，把上图倒过来，如图二所示，看起来像一棵树，所以被叫作树；

类似于树的特点，把最上面的那个结点（A）叫作根结点；

除了根结点，其余的结点又可以分为若干个类似于树的子树，如下图：

所以树是递归定义的；

相关概念：

 

1.结点的度：及该结点含有子树的个数(有几个孩子)，如上图：1的度为3，2的度为1，4的度为2；

2.叶结点（终端结点）：度为0的结点，如上图的3，5，6，7；

3.分枝结点（非终端结点）：根结点与叶结点以外的结点，如2，4；

4.双亲结点（父结点）：一个结点含有子结点，该结点称为子结点的父结点，如1是2，3，4的父结点，4是6，7的父结点；

5.孩子结点（子结点）：如5是2的子结点，4是1的子结点；

6.兄弟结点：有相同父结点的结点称为兄弟结点，如6，7的父结点都是4，所以6，7是兄弟结点；

7.树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度，如上面的树的度是3（因为1的度最大，为3）；

8.结点的层次：根为第一层，往下一次类推；

9.树的高度（深度）：如上图，树的高度为3；

10.森林：有许多互不相交的树组成的集合；

11.度为0的结点个数为N0，度为2的节点个数为N2；则有N0=N2+1；

1.2树的表示

最常见的是孩子兄弟表示法

 

双亲表示法（一般使用结构体数组）：只存储双亲的下标或指针；

例如：

上面这个树用双亲表示法表示：

蓝色：存储的该结点的父结点的下标或指针；

没有父亲就存储-1（-1不是个有效的下标）；

 

二.二叉树的概念及结构

2.1二叉树的概念

二叉树：

1.不存在度大于2的结点的树；最多两个，可以是1个或则0个；

度为0（空树）；

2.二叉树的子树 有左右子树之分，次序不能颠倒，所以二叉树是有序的；

2.2两个特殊的二叉树

满二叉树：

一个二叉树，如果每一层的结点数都达到最大值，这个数就是满二叉树；

假设一个满二叉树有h层，则该二叉树的总的结点为2^h-1;

完全二叉树：

是一个深度为k的有n个节点的二叉树，对树中的节点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i1≤i≤n的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同；

 

三.二叉树顺序结构及实现

3.1二叉树顺序结构

根据完全二叉树的特点，可以得出这样的结论：

如果完全二叉树用数组存储，那么可以得到任意一个父结点，可以通过下标找到孩子，通过孩子下标也可以找到父结点的下标；

规律如下：

liftchild = perent*2+1；

rightchild = parent*2+2；

parent = (child-1)/2;

堆在存储的分类：大根堆，小根堆

 

3.2二叉树（堆）顺序结构的实现

这里重点分析向上/向下调整的函数

向上调整：

思想：将插入的数据尾插到数组里面，根据父结点与孩子结点下标的关系向上比较做调整，如果父亲结点的数据大于（小于）孩子结点，就交换：如图:

实现代码：

//交换函数
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{
	HPDataType tmp = *x;
	*x = *y;
	*y = tmp;
}
 
//向上调整
void Adjustup(HPDataType* a, int child)
{
	assert(a);
 
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child>0)
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

向下调整：

思想：如果我们要删除堆顶（根）的结点，如果直接删除，然后向前覆盖，堆的顺序就会改变，不再是大堆（小堆），如图，这里就需要用到向下调整，先将最后一个数据与第一个数据交换，再将最后一个数据删除，这样保证了除了根，下面的结点都是大堆（小堆）；

然后再用根和两个孩子中较小的一个交换，一次向下重复以上动作，图解如下：

实现代码：

//向下调整
void Adjustdown(HPDataType* a, int parent,int n)
{
	assert(a);
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child<n)
	{
		//假设左孩子小
		if (child+1<n && a[child] > a[child + 1])   //假设错误，修正
		{
			child = child + 1;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			parent = child;
			child = child * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

完整代码：Heap.h    Heap.c     

Heap.h

#pragma once
#include 
#include 
#include 
#include 
#include
 
#define HPDataType int
 
 
typedef struct Heap
{
	//存储数据的数组
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}Heap;
 
//初始化函数，两种
//先不开空间，使用的时候再开
void HeapInit(Heap* php);
//已经有一个数组的数据，先开空间，把一个数组的数据放到堆数组里面
void HeapInitArray(Heap* php,int* a,int n);
 
//摧毁函数，防止内存泄露
void HeapDestory(Heap* php);
//打印函数
void HeapPrintf(Heap* php);
 
//向上调整函数
void Adjustup(HPDataType* a, int child);
//向下调整函数
void Adjustdown(HPDataType* a, int child,int n);
 
//向堆里面插入数据的函数
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x);
//把堆里面的根结点Pop出去的函数
void HeapPop(Heap* php);
 
//取出根结点数据的函数
HPDataType HeapTop(Heap* php);
 
//判断堆是否为空的函数
bool HeapEmpty(Heap* php);
 

Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"
 
void HeapInit(Heap* php)
{
	assert(php);
 
	php->a = NULL;
	php->capacity = 0;
	php->size = 0;
 
}
 
void HeapInitArray(Heap* php,int* a,int n)
{
	assert(a);
	assert(php);
 
	php->a = (HPDataType*)malloc( n * sizeof(int));
	if (php->a == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	memcpy(php->a, a, n * sizeof(int));
 
	//向上调整建堆
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		Adjustup(php->a, i);
	}
 
	php->size = n;
	php->capacity = n;
}
 
void HeapDestory(Heap* php)
{
	assert(php);
 
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
 
}
 
void HeapPrintf(Heap* php)
{
	assert(php);
 
	for (int i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ",php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}
 
//交换函数
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{
	HPDataType tmp = *x;
	*x = *y;
	*y = tmp;
}
 
//向上调整函数
void Adjustup(HPDataType* a, int child)
{
	assert(a);
 
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child>0)
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
 
//向下调整函数
void Adjustdown(HPDataType* a, int parent,int n)
{
	assert(a);
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child<n)
	{
		//假设左孩子小
		if (child+1<n && a[child] > a[child + 1])
		{
			child = child + 1;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			parent = child;
			child = child * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
 
//插入函数
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
 
	if (php->capacity == php->size)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}
		php->a=tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
 
	Adjustup(php->a,php->size-1);
}
 
//删除堆顶结点
void HeapPop(Heap* php)
{
	assert(php);
 
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;
 
	Adjustdown(php->a, 0,php->size);
 
}
 
//取出堆顶数据的函数
HPDataType HeapTop(Heap* php)
{
	assert(php);
 
	return php->a[0];
}
 
//判空函数
bool HeapEmpty(Heap* php)
{
	assert(php);
 
	return php->size;
}