从上述两个例子中抽象出数量关系,便得到定积分的定义
设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上有界,在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]中任意插入若干个分点
a
=
x
0
<
x
1
<
⋯
<
x
n
−
1
<
x
n
=
b
a=x_0
每个小区间上任意取一个点 ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ] \xi_i\in[x_{i-1},x_i] ξi∈[xi−1,xi],作函数值 f ( ξ i ) f(\xi_i) f(ξi)与小区间长度 Δ x i \Delta{x_i} Δxi的乘积 f ( ξ i ) Δ x i f(\xi_i)\Delta{x_i} f(ξi)Δxi, ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) (i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,⋯,n),求和 S = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i S=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta{x_i} S=∑i=1nf(ξi)Δxi
令 λ = max ( Δ x 1 , ⋯ , Δ x n ) \lambda=\max{(\Delta{x_1,\cdots,\Delta{x}_n})} λ=max(Δx1,⋯,Δxn),若 λ → 0 \lambda\to{0} λ→0时, lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^{n}f{(\xi_{i})}\Delta{x_i} λ→0lim∑i=1nf(ξi)Δxi= I I I总是存在,且与闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]的分法和 ξ i \xi_i ξi的取法无关,则该极限 I I I为函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的定积分,简称积分,记为 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx= lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^{n}f{(\xi_{i})}\Delta{x_i} λ→0lim∑i=1nf(ξi)Δxi
其中 f ( x ) , f ( x ) d x , x f(x),f(x)\mathrm{d}x,x f(x),f(x)dx,x分别称为被积函数,被积表达式,积分变量,
a , b a,b a,b分别称为积分下限和积分上限, [ a , b ] [a,b] [a,b]称为积分区间
∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i \sum_{i=1}^{n}f{(\xi_{i})}\Delta{x_i} ∑i=1nf(ξi)Δxi称为积分和
若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的定积分存在,则称, f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积
由于定积分是基于极限定义的,而极限可以由 ϵ − δ \epsilon-\delta ϵ−δ语言描述的,参考极限的 ϵ − δ \epsilon-\delta ϵ−δ语言描述,可以给出定积分的 ϵ − δ \epsilon-\delta ϵ−δ描述
(1)
即,定积分对于积分区间有可加性若区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上 f ( x ) ⩾ 0 f(x)\geqslant{0} f(x)⩾0,则 ∫ a b f ( x ) d x ⩾ 0 \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\geqslant{0} ∫abf(x)dx⩾0, ( a < b ) (a(a<b)
证明:因为 f ( x ) ⩾ 0 f(x)\geqslant{0} f(x)⩾0,所以 f ( ξ i ) ⩾ 0 f(\xi_{i})\geqslant{0} f(ξi)⩾0, ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) (i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,⋯,n)
推论:若区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上, f ( x ) ⩽ g ( x ) f(x)\leqslant{g(x)} f(x)⩽g(x),则 ∫ a b f ( x ) d x ⩽ ∫ a b g ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\leqslant{\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x} ∫abf(x)dx⩽∫abg(x)dx, ( a < b ) (a(a<b)
推论: ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ⩽ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x |\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x|\leqslant{\int_{a}^{b}|f(x)|\mathrm{d}x} ∣∫abf(x)dx∣⩽∫ab∣f(x)∣dx
(1)
若 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,则 [ a , b ] [a,b] [a,b]上至少有一点 ξ \xi ξ,使得 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx= f ( ξ ) ( b − a ) f(\xi)(b-a) f(ξ)(b−a), ( a ⩽ ξ ⩽ b ) (a\leqslant{\xi}\leqslant{b}) (a⩽ξ⩽b)(该公式称为积分中值公式)
证明:
由定积分估计定理, m ( b − a ) ⩽ ∫ a b f ( x ) d x ⩽ M ( b − a ) m(b-a)\leqslant{\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x}\leqslant{M(b-a)} m(b−a)⩽∫abf(x)dx⩽M(b−a),两边同时除以 b − a b-a b−a,
得 m m m ⩽ \leqslant ⩽ 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x b−a1∫abf(x)dx ⩽ \leqslant ⩽ M M M
因此,令 t = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x t=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x t=b−a1∫abf(x)dx,则 t ∈ [ m , M ] t\in[m,M] t∈[m,M], t t t是一个确定的数值;
再根据闭区间上连续函数的介值定理的推论, [ a , b ] [a,b] [a,b]上至少有点 ξ \xi ξ,使得 f ( x ) f(x) f(x)在点 ξ \xi ξ处的值与这个确定的数值相等,即 t = f ( ξ ) t=f(\xi) t=f(ξ), ( a ⩽ ξ ⩽ b ) (a\leqslant{\xi}\leqslant{b}) (a⩽ξ⩽b)
两端乘以 b − a b-a b−a,得 t = f ( ξ ) ( b − a ) t=f(\xi)(b-a) t=f(ξ)(b−a),即得定理结论
由积分中值公式, f ( ξ ) = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x f(ξ)=b−a1∫abf(x)dx称为函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的平均值(曲边梯形的平均高度)