微积分(三) 不定积分和定积分

前言

微分法也有它的逆运算——积分法。我们已经知道，微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰好是某一已知函数。

不定积分

假设已知函数A,一个个关于面积的函数.如下图所示
则会发现$f(x)$就是我们$A$的导数

1. 微分$dA=f(x)dx$
2. 导数$\frac{dA}{dx}=f(x)=A^{\prime }(x)$

原函数的定义

不定积分的定义

不定积分与原函数的关系

不定积分表示的就是原函数的全体。

不定积分的性质

不定积分的基本公式

如以下例子,利用性质一与基础公式二,四求证出来

求原函数主要利用四大不定积分积分法

1. 第一类换元-凑微分
2. 第二类换元，一般是三角函数
3. 有理函数-（这里要看是真分式or假分式）
4. 分部积分-（$e^x$等“反对幂指三”）

定积分

接着上述不定积分例子.函数A是一面试函数.则其导数$f(x)$在$x_0$的取值$f(x_0)$则可以称为瞬时面积.瞬时面积比较捌扭,我们举个瞬时速度的例子

再回到面积的例子,我们要求$[a,b]$两点的面积.则可表示
$$S=A(b)-A(a)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

以上就是“牛顿-莱布尼茨公式”,再从极限角度去看另一个例子,求由抛物线f(x)=x²与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积S。



根据上面不定积分的公式,求出原函数A
$$A=\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}$$
面积$S=A(1)-A(0)=\frac{1}{3}$

给出定积分的一般概念

定积分性质

其它性质参考:《不定积分与定积分》

定积分的计算

除了牛顿-莱布尼茨公式还有其它公式计算定积分

主要参考

《高等数学基础进阶不定积分-part1》
《不定积分与定积分》
《怎样理解定积分》
《定积分元素法及应用》