【蓝桥每日一题]-前缀和与差分（保姆级教程 篇1）

本篇是模板篇

目录

简介：

前缀和：

差分：

      

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简介：

前缀和：

前缀和指一个数组的某下标之前的所有数组元素的和（即数列的前n项求和），前缀和是一种重要的预处理，能够降低算法的时间复杂度，可以快速地求出某一段的和，对于处理区间之间的问题是往往十分高效

差分：

差分实际上就是构建一个数组，让原数组是差分数组的前缀和数组

     

额，暂且就讲这么直白点吧，讲的太深了你又听不懂了。只要知道什么时候去用它们就行了。最重要的还是在应用中去体会！

     

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上模板：

前缀和：

前缀和用于快速求区域的元素和

（注意：前缀和数组，我建议你一定要开long long，不然容易越界） 

       

    

一维前缀和：

for(int i=1;i<=n;i++)
suf[i]=suf[i-1]+a[i];

我建议你a[0]不要放元素，这样子初始化更方便，哈哈哈

        

二维前缀和：

这个是创建前缀和的一个从(1, 1)到(i，j)的 “和矩阵”。

比如suf[1][1]就直接等于a[1][1]，suf[2][2]就等于a[1][1],a[1][2],a[2][1],a[2][2]，类似这种的矩阵 

void create_suf(){
	for(int i=1;i<=3;i++)
	  for(int j=1;j<=3;j++){
	  	suf[i][j]=a[i][j]+suf[i-1][j]+suf[i][j-1]-suf[i-1][j-1];
	  }
}

我也建议你a[ ][ ]也是从(1,1)开始放元素，这样初始化不需要考虑越界问题，很方便。

      

这个是获取从(x1,y1)到(x2,y2)对角线内元素的和，注意是闭区间的(我已经打注释了)

int get_suf(int x1,int y1,int x2,int y2){//左右都是闭区间
	return suf[x2][y2]-suf[x2][y1-1]-suf[x1-1][y2]+suf[x1-1][y1-1];
}

        

上面两部分就是核心代码（俗称板子，这是我最常用的板子，经过优化后，还算简短美观的！）！好了，下面是完整的代码

#include      
using namespace std; 
typedef long long ll;
int a[4][4];    //二维前缀和（起点必须从1,1开始，这样简单）
ll suf[4][4];
void create_suf(){
	for(int i=1;i<=3;i++)
	  for(int j=1;j<=3;j++){
	  	suf[i][j]=a[i][j]+suf[i-1][j]+suf[i][j-1]-suf[i-1][j-1];
	  }
}
int get_suf(int x1,int y1,int x2,int y2){//左右都是闭区间
	return suf[x2][y2]-suf[x2][y1-1]-suf[x1-1][y2]+suf[x1-1][y1-1];
}
int main(){
	int cnt=1;
	for(int i=1;i<=3;i++){
		for(int j=1;j<=3;j++){
			a[i][j]=cnt++;//给a数组随机赋值
		}
	}
	create_suf();
	cout<<get_suf(2,2,3,3)<<'\n'<<get_suf(1,2,2,3);
}
 

     

      

      

差分：

差分用于求数据多次变动后的结果，差分是前缀和的进阶用法，但公式差不多，你可以仔细体会一下

  （注意： suf数组必须开ll       dif数组必须再多开一层        二维前缀和或差分必须从1,1开始）

      

      

一维差分：

核心模板：数据变动部分（从x下标到y下标都加z）

void add(int x,int y,int z){
	suf[x]+=z;suf[y+1]-=z;//因为x到y都要加z
}

suf要多开一个

        

完整代码 ：（相当于一口气把3个数据变化操作全做了，这就是为什么差分快速的原因）

#include      
using namespace std; 
typedef long long ll;
ll suf[6];  //这个数组既是dif也是suf，必须多开一层，且用ll
void add(int x,int y,int z){
	suf[x]+=z;suf[y+1]-=z;//因为x到y都要加z
}
int main(){
	int a[5]={1,2,3,4,5};       //一维差分
	add(2,4,5);//从2到5的元素都加5
	add(1,3,2);//从1到3元素都加2
	add(0,2,-3);//都-3
	for(int i=1;i<5;i++){
		suf[i]+=suf[i-1];
	}
	for(int i=0;i<5;i++){
		a[i]+=suf[i];
	}
}

      

      

二维差分：

模板：这里是数据变动部分（从(x1, y1)到(x2, y2)都变动 z ）

void add(int x1,int y1,int x2,int y2,int z){  //dif的作用在后面元素(可能用不到)，所以才让你多开一层
	dif[x1][y1]+=z;dif[x2][y2+1]-=z;dif[x2+1][y2]-=z;dif[x2+1][y2+1]+=z;
}

 注意：我也注释了，就是dif总要在x2和y2后面加上对前面加z的抵消，故才让你多开一层dif数组

         

 这里是由dif数组转为suf数组，相当于一口气处理了所有的数据变动，然后再加给原数组即可

void create_suf(){
	for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int j=1;j<=3;j++){
			suf[i][j]=dif[i][j]+suf[i-1][j]+suf[i][j-1]-suf[i-1][j-1];
		}
	for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int j=1;j<=3;j++){
			a[i][j]+=suf[i][j];
		}
}

都是前缀和那里的模板，不说了 

         

 上面就是模板，下面是完整代码：

#include      
using namespace std; 
typedef long long ll;
int a[4][4],dif[5][5]; //dif要多开一层
ll suf[4][4];                       
void add(int x1,int y1,int x2,int y2,int z){  //dif的作用在后面元素(可能用不到)，所以才让你多开一层
	dif[x1][y1]+=z;dif[x2][y2+1]-=z;dif[x2+1][y2]-=z;dif[x2+1][y2+1]+=z;
}
void create_suf(){
	for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int j=1;j<=3;j++){
			suf[i][j]=dif[i][j]+suf[i-1][j]+suf[i][j-1]-suf[i-1][j-1];
		}
	for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int j=1;j<=3;j++){
			a[i][j]+=suf[i][j];
		}
}
int main(){                        
	int cnt=1;
	for(int i=1;i<=3;i++){   //从(1,1)开始存
		for(int j=1;j<=3;j++){
			a[i][j]=cnt++;
		}
	}
	add(1,1,3,2,3);
	add(2,2,3,3,-1);
	create_suf();
	for(int i=1;i<=3;i++){
		for(int j=1;j<=3;j++) cout<' ';
		cout<<'\n';
	}
}
 

以后就开始练题了，不管是什么事情，实操才是最重要的