高等数学下册曲线与曲面积分，格林公式例6:
验证：在整个xOy平面内， x y 2 d x + x 2 y d y 是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。 xy^2 dx + x^2 ydy是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。 xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。
解：
P
=
x
y
2
,
Q
=
x
2
y
,
并且
∂
P
∂
y
=
2
x
y
=
∂
Q
∂
x
在整个
x
O
y
平面内成立
P = xy^2,Q = x^2 y,并且\frac{\partial P}{\partial y} = 2xy = \frac{\partial Q}{\partial x}在整个xOy平面内成立
P=xy2,Q=x2y,并且∂y∂P=2xy=∂x∂Q在整个xOy平面内成立
取积分曲线为 ∫ 0 , 0 x , y x y 2 d x + x 2 y d y = ∫ 0 , 0 x , 0 x y d x + x 2 y d y + ∫ x , 0 x , y x y 2 d x + x 2 y d y = 0 + ∫ 0 y x 2 y d y = x 2 y 2 2 \int _{0,0}^{x,y}xy^2 dx + x^2 y dy = \int_{0,0}^{x,0}x^y dx + x^2ydy + \int_{x,0}^{x,y} xy^2 dx + x^2ydy \\ = 0 + \int_0^y x^2 y dy = \frac{x^2y^2}{2} ∫0,0x,yxy2dx+x2ydy=∫0,0x,0xydx+x2ydy+∫x,0x,yxy2dx+x2ydy=0+∫0yx2ydy=2x2y2
注意：
从(0,0)到(x,0)这一段积分为0，这很容易看出来。但是从(x,0)到(x,y)这一段，x的值不变，对x积分时，dx为0，故积分值为0。
容易犯错的原因是先对x积分，再带入(x,y)和(x,0)，计算结果不是0。因为x不变，所以这里不能积分，只能得到积分式为0。