CSP-J2023入门组第二轮T4：旅游巴士

题目描述

小 Z 打算在国庆假期期间搭乘旅游巴士去一处他向往已久的景点旅游。

旅游景点的地图共有 $n$ 处地点，在这些地点之间连有 $m$ 条道路。其中 $1$ 号地点为景区入口，$n$ 号地点为景区出口。我们把一天当中景区开门营业的时间记为 $0$ 时刻，则从 $0$ 时刻起，每间隔 $k$ 单位时间便有一辆旅游巴士到达景区入口，同时有一辆旅游巴士从景区出口驶离景区。

所有道路均只能单向通行。对于每条道路，游客步行通过的用时均为恰好 $1$ 单位时间。

小 Z 希望乘坐旅游巴士到达景区入口，并沿着自己选择的任意路径走到景区出口，再乘坐旅游巴士离开，这意味着他到达和离开景区的时间都必须是 $k$ 的非负整数倍。由于节假日客流众多，小 Z 在旅游巴士离开景区前只想一直沿着景区道路移动，而不想在任何地点（包括景区入口和出口）或者道路上停留。

出发前，小 Z 忽然得知：景区采取了限制客流的方法，对于每条道路均设置了一个“开放时间”$a_i$，游客只有不早于 $a_i$ 时刻才能通过这条道路。

请帮助小 Z 设计一个旅游方案，使得他乘坐旅游巴士离开景区的时间尽量地早。

输入格式

输入的第一行包含 3 个正整数 $n,m,k$，表示旅游景点的地点数、道路数，以及旅游巴士的发车间隔。

输入的接下来 $m$ 行，每行包含 3 个非负整数 $u_i,v_i,a_i$，表示第 $i$ 条道路从地点 $u_i$ 出发，到达地点 $v_i$，道路的“开放时间”为 $a_i$。

输出格式

输出一行，仅包含一个整数，表示小 Z 最早乘坐旅游巴士离开景区的时刻。如果不存在符合要求的旅游方案，输出 -1。

样例 #1

样例输入 #1

5 5 3
1 2 0
2 5 1
1 3 0
3 4 3
4 5 1
1
2
3
4
5
6

样例输出 #1

6
1

提示

【样例 #1 解释】

小 Z 可以在 $3$ 时刻到达景区入口，沿 $1\to 3\to 4\to 5$ 的顺序走到景区出口，并在 $6$ 时刻离开。

【样例 #2】

见附件中的 bus/bus2.in 与 bus/bus2.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据有：$2\le n\le 10^4$，$1\le m\le 2\times 10^4$，$1\le k\le 100$，$1\le u_i,v_i\le n$，$0\le a_i\le 10^6$。

算法思想（分层图最短路）

根据题目描述，小 Z 要从$1$号地点（景区入口）移动到$n$号地点（景区出口），这$n$个点之间一共有$m$条边，每条边的权值为$1$。除此之外，题目中还两个要求：

1. 从入口出发的时间和到达出口的时间必须是$k$的倍数

根据第一个要求，在$k$比较小的情况下，可以使用分层图的思想把每个点拆分成$k$个状态，用$dis[u][i]$表示到达$u$点，并且花费时间满足$modk=i$时的最早时刻，其中$0\le i<k$。那么到达景区入口的时间为$dis[1][0]$，乘坐旅游巴士离开景区的最早时间就是$dis[n][0]$。

2. 每条边均设置了一个“开放时间”$a_i$，即只有不早于$a_i$时刻才能通过这条道路

• 在数据范围中可以发现，存在特殊性质$a_i=0$的情况，即所有道路都在$0$时刻开放，此时到达入口的时间越早越好，即$dis[1][0]=0$，然后求图中从点$1$到达点$n$的最短路即可。相邻点$u$和$v$的转移关系为$dis[v][j]=dis[u][i]+1$，其中$j=(i+1)\%k$
• 在$a_i\ne 0$的情况下，也可以借助上述求最短路的思想，不过从$dis[u][i]$转移到$dis[v][j]$时，需要判断如果当前道路尚未开放，那么到达时间将向后延长$k$的最小整数倍时间（可以理解为延后到达景区入口的时间），使得到达时间大于道路开放时间。

时间复杂度

• 使用堆优化版的Dijkstra求最短路，时间复杂度跟图中的边数和节点数相关
• 使用分层图的思想把每个点拆分成$k$个状态，那么一共有$n\times k$个状态

时间复杂度为$m\times log(nk)$

代码实现

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 10010, K = 110, INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> PII;

struct Node {
    //u节点编号，i状态，d最短到达时间
    int u, i, d; 
    //重载 < ，用于大顶堆按到达时间从小到大排序
    bool operator < (const Node t) const
    {
        return d > t.d;
    }
};

vector<PII> g[N]; //邻接表
/*
dis[u][i]表示到达第u处地点，并且到达时间mod k = i的情况下的最短距离
*/
int dis[N][K], st[N][K];
int main()
{
    int n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back({v, w}); //从u到v建一条边，权值为开放时间
    }
    //初始状态，1号点在状态0时最短距离为0，其它点的最短距离为无穷大
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[1][0] = 0; 
    //堆优化版Dijkstra求最短路，注意默认大顶堆，自定义比较规则
    priority_queue<Node> q;
    //初始状态加入优先队列，{点，状态，最短到达时间}
    q.push({1, 0, dis[1][0]}); 
    while(q.size())
    {
    	//节点u，状态i
        int u = q.top().u, i = q.top().i;
        q.pop();
        if(st[u][i]) continue; //该状态已经加入到集合中
        st[u][i] = 1; 
        for(auto [v, w] : g[u]) //枚举邻接点v和道路的开放时间
        {
            int t = dis[u][i], j = (i + 1) % k;
            //如果到达时间小于开放时间，则将到达时间向后延长若干个k的整数倍(向上取整)
            if(t < w) t += (w - t + k - 1) / k * k;
            //如果可以松弛到v点的时间
            if(dis[v][j] > t + 1)
            {
                dis[v][j] = t + 1;
                q.push({v, j, dis[v][j]});
            }
        }
    }
    if(dis[n][0] == INF) cout << -1;
    else cout << dis[n][0];
    return 0;
}
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