数学预备知识

初等函数篇：

一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数、极点坐标等等

（a，b）：开区间

【a，b】：闭区间

∞  ：无穷大

+∞：正无穷大

-∞ ：负无穷大

邻域即以某点为中心的一片范围

函数：从整体（函数值）处理：上加下减，从 x 处理：左加右减

•  这里存在给定 x 就只对应唯一的 y，而  就是一种对应规则
•         定义域：x 的取值范围
•         当对应规则和定义域给定时，就确定了值域，所以定义域和对应规则相同：代表是同一个函数
•         值域：y 的取值范围

        

分段函数（聚合函数）：y = {···} 由定义域来选择对应规则

单调性：某个区间恒有不变的趋势（导数大于0单调增，导数小于0单调减）

        函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。因此，说单调性时最好指明区间

奇偶性：首先设置函数的定义域关于原点对称，对于 

        如果对于函数  的定义域内任意一个 ，都有 ：偶函数

        如果对于函数  的定义域内任意一个 ，都有 ：奇函数

有界性：是对函数值域上、下界的一种判断

周期性：值域重复的描述

反函数：x=f^-1(y) 需要有唯一的x与之对应，所以不是每个函数都有反函数，如：y=x^2

对于原函数来说，是其自变量 x 和因变量 y 的颠倒函数，它俩图像上关于 y=x 对称，原函数图像上下颠倒再顺时针转 90° 就得到其的反函数图像

一次函数：y = kx + b（若 b = 0 则必过原点）

        一次函数是一根直线，|k| 越大，此线越“陡”

        k1 = k2 代表平行，k1 * k2 代表垂直

        点斜式：y - y0 = k(x - x0)

        两点式：（y-y1）/（x-x1）=（y2-y1）/（x2-x1）

反比例函数：y= k / x（k != 0 分式表达式）

        反比例函数像 一三/二四 挤痘痘

二次函数：ax^2 + bx + c（a != 0）对称轴：x = -b / 2a（且“左同右异”）

        在实数定义域上，与 y 轴永远都只有一个交点（0，c）

         求根点表达式，> 0 : 2，= 0 : 1，< 0 : 无

        二次函数像一条袋子，|a|越大，袋口越小；a > 0 开口向上，a < 0 开口向下

        顶点式：y = a(x + h)^2 + n

        交点式：y = a(x-x1)(x-x2)

       

指数函数：y = a^x（a > 0 且 a != 1）

对数函数：y = loga(x)（a > 0 且 a != 1）（是指数函数的反函数）2^3 = 8 即有 log2(8) = 3

lg = log10，loge = ln

对数加法

loga(MN) = loga(M) + loga(N)

对数减法

loga(M/N) = loga(M) - loga(N)

对数系数

loga(M^n) = nloga(M)

换底公式

loga(b) = logc(b) / logc(a)

无论是指数函数还是对数函数，如果 01 则图像递增

幂函数：y = x^a（固次）

三角函数：

        弧度：弧长恰好等于半径的角称为一弧度，|弧度| = 弧长 / 半径，一周的弧度数为， 弧度，因此，1弧度为        

以 sin 为例：y = w sin(kx + a)

w：可以垂直“拉伸”函数的图像

a：左加右减

k：原来函数的周期 / |k| = 现在函数的周期（前提有周期性）

诱导公式：

三角恒等变换：

阴阳对峙

移花接木

倒反天罡

反三角函数：

复合函数（嵌套函数）：指函数包裹着函数，例如：y = 2t，而 t = sinx，综合即是 y = 2sinx，其中的 t 称为中间变量，可见中间变量的值域和包裹它函数的定义域应该有交集

e的值：2.71 828 182 845 904 5

2

数列和极限：

当自变量 n 按正整数 1，2，3，··· 依次变大的顺序取值时，其 f(n)=Xn 相应地排成一个序列，这就是数列，可记为 {Xn}，其中 Xn 称为一般项或通项

按函数值的趋势分为：单调增加/减少数列；按照其范围又分为有界/无界数列

若其自变量 n->∞，其函数值（无现项）的变化趋势接近一个点，这个点称为其的极限；又如果其函数值的变化趋势不确定，则称其无极限（在项无穷的情况下，其值是否确定）有极限也代表其有界，但有界不一定代表其有极限；而无界就代表其无极限，无极限却不一定无界

若某一项的函数值 >0/<0，则存在 N 项后其所有函数值都 >0/<0（保号性）

若 lim(n->∞)Xn = A，则 {Xn} 的任何子数列都存在 lim(n->∞)Xm = A；反命题是如果 {Xn} 有一个子数列不收敛（无极限），或者有两个子数列极限存在但不相等则都代表 lim(n->∞)Xn 不存在

如果其奇数项和偶数项都存在极限且相等，则代表其收敛

lim(n->∞)n√a = 1（a>0）；lim(n->∞)n√n = 1

函数的极限 x->∞：{x->+∞，x->-∞}（相当于一点有两侧极限）

x 取值无限趋近一个点（但不会真正取到）其极限是否存在，与该函数在此点的定义域/值域没有关系；

  高阶

 等价