AM@导数和微分的应用@弧微分和曲率

abstract

• 曲线弧;弧微分;曲率;曲率圆近似

引言

• 微分学的最基本用途可以被用来求解函数某一点处的切线斜率相关问题
• 微分源于极限,又可以反过来解决某些极限问题,例如洛必达法则和泰勒展开求未定式
• 另一类重要应用是计算曲率,也是二阶导数的应用

基本概念

曲线的方向

• 规定依$x$增大的方向作为曲线的正向

函数曲线上的弧和弦

• 设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内具有连续导数,在曲线$y=f(x)$上取固定点$M_0(x_0,y_0)$作为度量弧长的基点,对曲线上任意点$M(x,y)$为终点的有向弧段记为弧$M_{0}M$,不妨将弧s记为$a(s)$;(a:arch)

• 相应的,可以把以点$M_0$为起点,以$M$为终点的直线段称为曲线上的弦,记为$c(M_{0}M)$;(c:chord,表示曲线上的两点构成的线段,即弦)

• 有向弧段$a(M_{0}M)$的值也常记为$a(M_{0}M)$

弧的值

• 规定有向弧段$M_{0}M$的值$s$(简称为弧$s$,)为:
  • $s$的绝对值:弧段的长度
  • $s$的符号:当有向弧段$M_{0}M$的方向与曲线的正向一致时($M$在$M_0$右侧),$s>0$;相反时($M$在$M_0$左侧)$s<0$
• 弧$s$有绝对值也有方向(符号),和向量是相仿的
• 显然,弧$s$与$x$存在函数关系$s=s(x)$,且$s(x)$是$x$的单调增加函数

同一起点的弧

• 起点相同的弧,即同一起点的弧,例如以$M_0$为起点,分别以$M,M^{\prime }$为弧终点的弧分别记为弧$M_{0}M$和弧$M_0{M}^{\prime }$(即a($M_{0}M$)和a($M_0{M}^{\prime }$)

弧增量

• 弧增量:弧$M_{0}M$的终点从$M$变化到$M^{\prime }$的增量表示为
  • $\Delta s=a(M_0{M}^{\prime })-a(M_{0}M)$=$a(M{M}^{\prime })$
• 若选定$a(M_{0}M)=s$为基弧,则$a(M_0{M}^{\prime })$可以表示为$s+\Delta s$

弧微分

• 设$x,x+\Delta x$为$(a,b)$内两个邻近的点,它们在$y=f(x)$上对应点为$M,M^{\prime }$

• 设对应于$x$的增量为$\Delta x$,弧$s$的增量为$\Delta s$=$a(M{M}^{\prime })$

• 从而有$\frac{\Delta s}{\Delta x}$=$\frac{a(M{M}^{\prime })}{\Delta x}$=$\frac{a(M{M}^{\prime })}{\Delta x}\cdot \frac{c(M{M}^{\prime })}{c(M{M}^{\prime })}$=$\frac{a(M{M}^{\prime })}{c(M{M}^{\prime })}\frac{c(M{M}^{\prime })}{\Delta x}$(1)

  • 为了便于演算,令$a=a(M{M}^{\prime })$,$c=c(M{M}^{\prime })$;则式(1)写作$\frac{\Delta s}{\Delta x}$=$\frac{a}{c}\frac{c}{\Delta x}$(2)

  • 对(2)两边同时平方:$(\frac{\Delta s}{\Delta x}{)}^2$=$(\frac{a}{c}\frac{c}{\Delta x}{)}^2$=$(\frac{a}{c}{)}^2\frac{c^2}{(\Delta x{)}^2}$(3)

    • 由勾股定理,$c^2=(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2$
    • 从而(3)可以写作$(\frac{\Delta s}{\Delta x}{)}^2$=$(\frac{a}{c}{)}^2\frac{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}{\Delta x^2}$=$(\frac{a}{c}{)}^2(1+\frac{(\Delta y{)}^2}{(\Delta x{)}^2})$(3-1)
    • 从而$\frac{\Delta s}{\Delta x}$=$\pm \sqrt{(\frac{a}{c}{)}^2(1+\frac{(\Delta y{)}^2}{(\Delta x{)}^2})}$(4)

  • 当$\Delta x\to 0$时,

    • $M^{\prime }\to M$,此时弧长的长度和弦的长度之比的极限为1,即$\underset{M^{\prime }\to M}{\lim }\frac{a}{c}=1$
    • $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=y^{\prime }$;$\Delta s\to \mathrm{d}s(\Delta x\to 0)$;即$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta x}$=$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}$(函数$s(x)$对$x$求到的导数定义)

  • 对式(4)两边取极限,得:$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}$=$\pm \sqrt{\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(\frac{a}{c}{)}^2\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(1+(\frac{\Delta y}{\Delta x}{)}^2)}$=$\pm \sqrt{1+y^{\prime 2}}$(5)

  • 由于$s=s(x)$是单调增加的函数,从而其导数$s^{\prime }=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}>0$,从而$\mathrm{d}s$=$\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$(6)

  • 式(6)就是弧微分公式

曲率

• 用数量来描述曲线的弯曲程度
• 沿着曲线运动的点的切线转过的角度大小还不能完全反映曲线的弯曲程度
  • 例如半径为$10^5{r}_0$的圆上的长度为$r_0$的弧接近直线,对应的圆心角为$10^{-5}$ rad,而半径为$r_0$的圆的弧对应的圆心角为$1$ rad的圆心角
  • 将上述两个圆(圆M,圆N)放入一个大小为1 rad 的角内部使圆和角的边相切,分别产生两个切点$M_1,M_2$,和$N_1,N_2$;也分别可以构成两条弧$M_1{M}_2$,$N_1{N}_2$;显然从各自的位置1运动到位置2,切线的转角是相等的,但是弧$N_1{N}_2$比弧$M_1{M}_2$弯曲的厉害的多
• 总之,曲线弧的弯曲程度不仅和切线转角大小有关,还与弧段长度有关

光滑曲线

• 曲线上每一点都有切线,且切线随切点的移动而连续地移动,这样的曲线称为光滑曲线

平均弯曲程度

• 我们用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度
• 设曲线$C$是光滑曲线,在$C$上选定一点$M_0$作为度量弧$s$的基点;设曲线上点$M$对应于弧$s$,在点$M$处切线的倾角为$\alpha$,这里曲线$C$所在平面上已经建立了$xOy$坐标系
• 曲线上另一点$M^{\prime }$对应于弧$s+\Delta s$,在点$M^{\prime }$处切线的倾角为$\alpha +\Delta \alpha$,
• 则弧段$a(M{M}^{\prime })$的长度为$|\Delta s|$
• 当动点从$M$移动到$M^{\prime }$时切线转过的角度为$|\Delta \alpha |$
• 此时,比值$\frac{|\Delta \alpha |}{|\Delta s|}$,即单位弧段上切线转过的夹角的大小来表达弧段$a(M{M}^{\prime })$的平均弯曲程度
• 这个比值也成为弧段$a(M{M}^{\prime })$的平均曲率,并记为$\overline{K}$=$|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}|$
• 类似于从平均速度引进瞬时速度的方法,当$\Delta s\to 0$时,即$(M^{\prime }\to M)$时,上述平均曲率的极限叫做曲线$C$在点$M$处的曲率,记为$K$,即$K=\underset{\Delta s\to 0}{\lim }|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}|$(2)
• 在$\underset{\Delta s\to 0}{\lim }\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}$=$\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}$=${\alpha }^{\prime }(s)$存在的条件下,$K=|\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}|$(2-1)

直线的弯曲分析

• 由于直线的切线和直线本身重合,当点沿着直线移动式,切线的倾角$\alpha$不变,所以$\Delta \alpha =0$,$\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}$=0;从而$K=|\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}|=0$,这表明直线上任意点M处的曲率都等于0,符合人们的直觉:直线不弯曲

圆的弯曲分析

• 设直角坐标系$xOy$上以$D$点为圆心,半径为$a$作圆,圆上的点$M,M^{\prime }$处的切线的倾斜角分别为$\alpha ,\alpha +\Delta \alpha$;设弧段$a(M{M}^{\prime })=\Delta s$
• 不妨设两切线分别于$x$轴交于$T,T^{\prime }$,且两切线交于点P
• 不妨设$\Delta \alpha$是锐角,显然,两条切线所夹的角为$\angle TP{T}^{\prime }=\Delta \alpha$,
• 由于$\angle MP{M}^{\prime }+\angle MD{M}^{\prime }=\pi$,$\angle MP{M}^{\prime }+\angle TP{T}^{\prime }=\pi$,所以
  • $\angle MD{M}^{\prime }=\angle TP{T}^{\prime }=\Delta \alpha$,即圆心角$\angle MD{M}^{\prime }$=$\Delta \alpha$(3)
• 另一方面,圆心角$\angle MD{M}^{\prime }$的弧度角由定义得$\angle MD{M}^{\prime }$=$\frac{\Delta s}{a}$(4)
• 比较(3),(4),有$\Delta \alpha$=$\frac{\Delta s}{a}$,即$\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}$=$\frac{1}{a}$,从而$K=|\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}|$=$\frac{1}{a}$(5),是一个常数(圆的半径的导数)
• 因为点$M$是圆上的任意取定的一点,式(5)表明圆上的任意点的曲率都为$\frac{1}{a}$,这就是说,同一个圆,在各点的弯曲程度一样;并且,半径越小,曲率越大(弯曲的越厉害)
• 例如,地球的半径很大,其曲率很小

曲率公式

• 由点$M$处的曲率可以得到函数$f(x)$在$x=x_0$处的曲率计算公式
• 设曲线的之直角坐标方程为$y=f(x)$,$f(x)$有二阶导数($f^{\prime }(x)$(切线斜率)一定连续,从而曲面是光滑的)
• 因为曲线$y=f(x)$在某点处的切线斜率为$\tan \alpha =y^{\prime }$,两边对$x$求导得$\sec {}^2\alpha \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}x}$=$y^{\prime \prime }$,即$\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}x}$=$\frac{y^{\prime \prime }}{1+{\tan }^2\alpha }$=$\frac{y^{\prime \prime }}{1+(y^{\prime }{)}^2}$(1),$\mathrm{d}\alpha$=$\frac{y^{\prime \prime }}{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$(2)
• 又由$\mathrm{d}s$=$\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$,$K=|\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}|$=$|\frac{\frac{y^{\prime \prime }}{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x}|$=$|\frac{y^{\prime \prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}|$=$\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$(3)

参数方程和曲线曲率

• 设曲线的参数方程为$x=\varphi (t)$,$y=\psi (t)$,则可以利用参数方程所确定的函数的求导法求出$y_x^{\prime },y_x^{\prime \prime }$,代入式(3),得

  • $$\begin{array}{rl}K=& |\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\varphi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\varphi }^{\prime \prime }(t)}{{\varphi }^{\prime 3}(t)}|/(1+{\psi }^{\prime 2}(t)/{\varphi }^{\prime 2}(t){)}^{\frac{3}{2}}\\ =& |\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\varphi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\varphi }^{\prime \prime }(t)}{{\varphi }^{\prime 3}(t)}|/(\frac{({\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t){)}^{\frac{3}{2}}}{(({\varphi }^{\prime 2}(t){)}^{\frac{3}{2}})}))\\ =& |\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\varphi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\varphi }^{\prime \prime }(t)}{({\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t){)}^{\frac{3}{2}}}|\end{array}$$

  • $K$=$\frac{|{\psi }^{\prime \prime }(t){\varphi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\varphi }^{\prime \prime }(t)|}{({\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t){)}^{\frac{3}{2}}}$

例

• 计算等边双曲线$xy=1$在点$(1,1)$得曲率
  • $y=\frac{1}{x}$,$y^{\prime }=-x^{-2}$,$y^{\prime \prime }=2x^{-3}$
  • $y^{\prime }{|}_{x=1}$=$-1$;$y^{\prime \prime }{|}_{x=1}=2$
  • 代入公式(3),即$K$=$\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}{|}_{x=1}$=$2^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

曲率近似公式

• 当$|y^{\prime }|<<1$时,可以忽略不计,则有$1+y^{\prime 2}\approx 1$,得$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}\approx |y^{\prime \prime }|$

曲率圆

• 设曲线$y=f(x)$在点$M(x,y)$处得曲率为$K(K\ne 0)$,在曲线的凹的一侧且在点$M$处的曲线的法线上取点$D$,使得$|DM|=K^{-1}$,即$\rho =K^{-1}$
• 以$D$为圆心,$\rho$为半径作圆,则这个圆称为曲线在点$M$处的曲率圆
• 曲率圆的中心叫做曲线在点$M$处的曲率中心;
• 曲率圆的半径$\rho$称为曲线在点$M$处的曲率半径
• 特点:
  • 曲率圆于曲线在点M处有相同的切线和曲率
  • 且点$M$邻近有相同的凹向
• 应用:常常用曲率圆在点$M$邻近的一段圆弧来近似代替曲线弧
  • 这比用直线代替曲线更能满足某些需求