算法基础学习|前缀和差分

前缀和

代码模板

一维前缀和模板
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]
 
二维前缀和模板
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

例题一

题目

输入一个长度为  的整数序列。

接下来再输入  个询问，每个询问输入一对 。

对于每个询问，输出原序列中从第  个数到第  个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数  和 。

第二行包含  个整数，表示整数数列。

接下来  行，每行包含两个整数  和 ，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共  行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

\(1 \leq l \leq r \leq n\),

\(1 \leq m,n \leq 100000\),

\(-1000 \leq\) 数列中元素的值 

输入样例

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例

3
6
10

代码示例

#include 
 
using namespace std;
 
const int N = 100010;
 
int a[N],s[N];
 
int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        cin >> a[i];
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    
    int l, r;
    while(m--){
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

例题二

题目

输入一个  行  列的整数矩阵，再输入 \(q\) 个询问，每个询问包含四个整数 \(x_1, y_1, x_2, y_2\), 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 \(n, m, q\)。

接下来  行，每行包含  个整数，表示整数矩阵。

接下来 \(q\) 行，每行包含四个整数 \(x_1, y_1, x_2, y_2\) 表示一组询问。

输出格式

共 \(q\) 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

\(1 \leq n,m \leq 1000\)，

\(1 \leq q \leq 200000\)，

\(1 \leq x_1 \leq x_2 \leq n\)，

\(1 \leq y_1 \leq y_2 \leq m\)，

\(-1000 \leq\) 矩阵元素的值 

输入样例

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例

17
27
21

代码示例

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
 
using namespace std;
 
const int N = 1010;
int m, n, q;
int s[N][N];
 
int main() {
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> m >> q;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			cin >> s[i][j];
			s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
		}
	}
	int x1, y1, x2, y2;
	while (q--) {
		cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
		cout << s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
	}
}

差分

代码模板

一维差分
给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c
 
二维差分
给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

例题一

题目

输入一个长度为  的整数序列。

接下来输入  个操作，每个操作包含三个整数 \(l, r, c\)，表示将序列中 \([l, r]\) 之间的每个数加上\(c\)。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数  和 。

第二行包含  个整数，表示整数序列。

接下来  行，每行包含三个整数 \(l,r,c\) 表示一个操作。

输出格式

共一行，包含  个整数，表示最终序列。

数据范围

\(1 \leq l \leq r \leq n\),

\(1 \leq m,n \leq 100000\),

\(-1000 \leq c \leq 1000\)，

\(-1000 \leq\) 数列中元素的值 

输入样例

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例

3 4 5 3 4 2

代码示例

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
 
using namespace std;
 
const int N = 100010;
 
int a[N], b[N];
 
void insert(int l, int r, int c) {
	b[l] += c;
	b[r + 1] -= c;
}
 
int main() {
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        cin >> a[i];
        insert(i, i, a[i]);
    }
 
	while (m--) {
		int l, r, c;
		cin >> l >> r >> c;
		insert(l, r, c);
	}
 
	for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i - 1];
 
	for (int i = 1; i <= n; i++) cout << b[i] << " ";
 
	return 0;
}

例题二

题目

输入一个  行  列的整数矩阵，再输入 \(q\) 个操作，每个操作包含五个整数 \(x_1, y_1, x_2, y_2, c\)， 其中 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 \(c\)。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 \(n,m,q\)。

接下来  行，每行包含  个整数，表示整数矩阵。

接下来 \(q\) 行，每行包含 5 个整数 \(x_1, y_1, x_2, y_2, c\) 表示一个操作。

输出格式

共  行，每行  个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

\(1 \leq n,m \leq 1000\)，

\(1 \leq q \leq 100000\)，

\(1 \leq x_1 \leq x_2 \leq n\)，

\(1 \leq y_1 \leq y_2 \leq m\)，

\(-1000 \leq c \leq 1000\)，

\(-1000 \leq\) 矩阵元素的值 

输入样例

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

代码示例

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
 
using namespace std;
 
const int N = 1010;
 
int a[N][N], b[N][N];
 
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
	b[x1][y1] += c;
	b[x2 + 1][y1] -= c;
	b[x1][y2 + 1] -= c;
	b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
 
int main() {
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
	int n, m, q;
	cin >> n >> m >> q;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			cin >> a[i][j];
			insert(i, j, i, j, a[i][j]);
		}
	}
 
	while (q--) {
		int x1, y1, x2, y2, c;
		cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
		insert(x1, y1, x2, y2, c);
	}
 
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
			cout << b[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
 
	return 0;
}