【COMP329 LEC3】

LEC 3 Beliefs and Bayesian Filters

Part 1: Recap on Probability theory

1. Probabilistic Robotics

Explicit representation of uncertainty (using the calculus of probability theory)

Perception = state estimation

 Interpreting what the robot senses about its environment

 and coverting it into a probabilistic belief about the environment or itself

 Action = utility optimisation

(a. P(A ∨ B) = P(A) + P(B) − P(A ∧ B)

可以转换为：

（b. P(A ∨ ¬A) = P(A) + P(¬A) − P(A ∧ ¬A)

  (c. P(True) = P(A) + P(¬A) − P(False)

记住：A ∨ ¬A is True (tautology) ，and A ∧ ¬A is False (contradiction)

  (d. 1 = P(A) + P(¬A) − 0  which is alse equal to P(A) = 1 - P(¬A)

因为P(True) = 1, P(false) = 0

2. Probability mass function 概率质量函数

就是其中一种可能的概率就是P（Xi），然后P（X）的意思就是所有可能的概率，例如这里例子的P（Room）就是四个房间的分别的概率是0.7, 0.2, 0.0.8, 0.02, 但最后加起来的概率肯定是1

3. Probability density function 概率密度函数

X takes on values in the continuum 

p(X = x) or p(x) is a probability density function

高中知识，值就是这条曲线和x = a和x = b还有x轴包围起来的面积

Within this module, we typically approximate the continuous case by using the discrete case

4. Joint and Conditional Probability

1. Joint probability

P( X = x and Y = y) = P(x, y) 

and if x 和 y都是独立事件，那么P(x, y) = P(x)P(y)

2. Conditional probability

P(x | y) 意思是 在y的前提下，x发生的概率

P(x, y) = P(x | y)P(y)

那么根据上面的结论我们可以这样推导出来

如果x和y都是独立事件，那么P(x | y)  = p(x, y) / p(y) = p(x)p(y) / p(y) = p(x) ,那么结论刚好就是正确的，因为是独立事件，所以x不受y影响，P(x | y) 就等于 p(x)

Part 2: Bayes Theorem, Normalisation and Background Knowledge

1. Bayes Formula：

The joint probability of x and y  是可以交换的

所以 p(x|y)p(y) = p(y|x) p(x)

所以p(x|y) = p(y|x)p(x) / p(y) = p(x|y)p(y) / p(y)

Normalisation 一下

就是引入了一个η概念，更好书写或者计算？？ 

2. Bayes Formula 进阶版

这里的意思就是在同时发生y和z的前提下，发生x的概率

Part 3: State Estimation

第一个诊断性的是指：如果距离目标有多远，那么门是打开的概率是多少

第二个因果的是指：如果门是开着的话，那么传感器和目标的距离是z的概率是多少

增加了一个传感器的情况下

Part 4: Modelling actions and Bayesian Filters

Actions

Modelling Actions

Gernerating a pdf for actions

The probablility distribution function（pdf） can be generated by:

1. Xt-1 是当前状态

2. 进行u这个行为 例如：朝前行驶或者转弯

3. 计算最新的状态 Xt

重复进行这个过程，只是每次的行为u可能改变可能不变

这里的意思，就是在已知有两个传感器感知的情况下，再加上一个行为u之后，门的不同状态的概率

Part 5: Bayesian Filter in Action