【高等数学】微分中值定理

1、极值

若$\exists \delta >0$，使得
$\forall x\in U(x_0,\delta )$恒有$f(x)\ge f(x_0),$则称$f(x)$在$x_0$取极小值
$\forall x\in U(x_0,\delta )$恒有$f(x)\le f(x_0),$则称$f(x)$在$x_0$取极大值

也就是说，这一点是不是极值是根据这一点左右区间中的值决定的

在上图中，我们在极值点做一条切线，几何上切线的斜率很明显为0

2、费马引理

若$f(x)$在$x_0$处取得极值，且$f(x)$在$x_0$处可导，则$f^{\prime }(x_0)=0$

【证明】
不妨假设取得极大值
$\Delta x>0,{\lim }_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f_{+}^{\prime }(x)\le 0$
$\Delta x<0,{\lim }_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f_{-}^{\prime }(x)\ge 0$
$0\le f^{\prime }(x_0)\le 0=0$

3、罗尔定理

条件：
(1)、$f$在$[a,b]$上连续
(2)、$f$在$(a,b)$内可导
(3)、$f(a)=f(b)$
若满足上述三个条件，则$\exists \xi \in (a,b),$使$f^{\prime }(\xi )=0$

如图：

【证明】

$\because f(x)$在$[a,b]$连续
$\therefore$存在最大值M与最小值m
①、若$m=M\Rrightarrow f(x)=m=M,f^{\prime }(x)=0$
②、若$m<M$且$f(a)=f(b)$
则m和M至多一个在端点
不妨设$\xi \in (a,b),f(\xi )=m$
$f(x)\ge m$
即存在极小值
由费马引理证得：$f^{\prime }(\xi )=0$

但是，罗尔定理有一个非常特殊的要求两端点相等，在实际运用中很多时候都不能满足这个要求，人们就思考，是否能把罗尔定理进行推广，让它更具有普遍性呢？
于是数学家就发现了接下来得定理：拉格朗日中值定理

4、拉格朗日中值定理

拉格朗日的条件就是在罗尔定理的基础上把两端点相等给去掉了
条件：
(1)、$f$在$[a,b]$上连续
(2)、$f$在$(a,b)$内可导

我们连接$f(a)与f(b)$做一条直线，那么至少存在一点$\xi$的切线平行于这条直线

连接两端点的直线斜率：$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi )\Rrightarrow f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$
结论：若满足(1)(2),则$\exists \xi \in (a,b),$使 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$



而且我们可以把这个式子改写一下：
$\because f^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(a+(\xi -a))=f^{\prime }[a+\frac{\xi -a}{b-a}(b-a)]=f^{\prime }[a+\theta (b-a)](0<\theta <1)$
拉格朗日推论：$f(b)-f(a)=f^{\prime }[a+\theta (b-a)](b-a),(0<\theta <1)$



此时设$b=x_0+\Delta x,a=x_0$
有限增量公式：$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0+\theta \Delta x)\Delta x=\Delta y(0<\theta <1)$





【证明拉格朗日定理】
$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)\Rrightarrow f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$
构造$F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$
$F(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}a=\frac{bf(a)-af(a)-af(b)+af(a)}{b-a}=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}$
$F(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}b=\frac{bf(b)-af(b)-bf(b)+bf(a)}{b-a}=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}$
$\because F(a)=F(b)$
根据罗尔定理：
$\therefore F^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\Rrightarrow f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$
证毕

4.1用拉格朗日定理证明基本结论

推论1：设$f(x)$在区间$I$上连续，在$I$内可导，则在$I$上$f(x)=C\Lleftarrow \Rrightarrow f^{\prime }(x)=0$

【证明】
$f(x)=C\Lleftarrow f^{\prime }(x)=0$
任取$x_1,x_2\in I,f(x_1)-f(x_2)=f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1)=0$
$\therefore f^{\prime }(x)=0\Rrightarrow f(x)=C$
证毕

推论2：当$x>0$时，$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$

【证明】
$\ln (1+x)=\ln (1+x)-\ln 1$
$\ln (1+x)-\ln 1=\frac{x}{\xi }(1<\xi <1+x)$
令$\xi =1$(放大):
$\ln (1+x)-\ln 1<x$
令$\xi =1+x(缩小):$
$\ln (1+x)-\ln 1>\frac{x}{1+x}$
故：$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$
证毕

5、柯西中值定理

柯西定理的思想与拉格朗日定理的思想是很像的，唯一不同的是柯西定理把求函数变成了求参数方程，$y=f(t),x=F(t)$



若：
(1)、$f,F$在$[a,b]$上连续
(2)、$f,F$在$(a,b)$内可导，且$\forall x\in (a,b),F^{\prime }(x)\ne 0$
则$\exists \xi \in (a,b)$,使$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$

在这个结论中，左边的式子求的是连接两端点的直线斜率，右边 式子为与连接两端点的直线平行的那一点$\xi$



$F^{\prime }(x)\ne 0$的作用：
1、保证了等式右边分母不为0
2、保证了等式左边分母不为0
因为如果左边分母为0则$F(b)=F(a)$,根据罗尔定理:$F^{\prime }(x)=0$，加了$F^{\prime }(x)\ne 0$则限制这种情况的发生




【证明柯西中值定理】
$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}\Rrightarrow [f(b)-f(a)]F^{\prime }(\xi )-[F(b)-F(a)]f^{\prime }(\xi )=0$

令$\phi (x)=[f(b)-f(a)]F(x)-[F(b)-F(a)]f(x)$
$\phi (a)=f(b)F(a)-f(a)F(a)-F(b)f(a)+F(a)f(a)=f(b)F(a)-F(b)f(a)$
$\phi (b)=f(b)F(b)-f(a)F(b)-F(b)f(b)+F(a)f(b)=f(b)F(a)-F(b)f(a)$
$\phi (a)=\phi (b)$
根据罗尔定理：
${\phi }^{\prime }(\xi )=[f(b)-f(a)]F^{\prime }(\xi )-[F(b)-F(a)]f^{\prime }(\xi )=0\Rrightarrow \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$
证毕

6、微分中值定理的意义

1、微分中值定理建立局部和整体的关系
我们以拉格朗日中值定理为例：$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi )$$
上述式子中，左边为$\frac{区间函数改变量}{自变量改变量}$,这是一个整体的概念
而$f^{\prime }(\xi )$表示的是一点上的变化率，这是一个局部的概念
而微分中值定理把这个整体和局部联系起来了




2、微分中值定理建立函数和导数的关系

7、三大中值定理的意义

柯西中值定理：$$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$$
此时我们设$F(x)=x$,就得到了拉格朗日中值定理：$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi )$$

说明拉格朗日定理是柯西中值定理的特例！
如果我们令拉格朗日中值定理中的$f(a)=f(b)$，就得到了罗尔中值定理$$f^{\prime }(\xi )=0$$
说明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例！