金融统计学方法：神经网络

目录

1.神经网络

2.深度神经网络

3.案例分析

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1.神经网络

神经网络是模仿人脑神经元工作原理而设计的一种算法模型。在一个基本的神经网络中，存在多个“神经元”或称为“节点”，这些节点被组织成多个层次。每个节点都接收前一层的输入，进行加权求和，并通过一个激活函数产生输出。

神经网络主要由以下几个部分组成：

1. 输入层：这是神经网络的第一层，用于接收外部数据。
2. 隐藏层：位于输入层和输出层之间的层，可以有一个或多个。
3. 输出层：将神经网络的结果输出给外部环境。
4. 权重与偏置：每个连接都有一个权重，每个节点都有一个偏置。
5. 激活函数：决定神经元是否应该被“激活”或输出其值。

2.深度神经网络

深度神经网络（DNN）基本上是一个有很多隐藏层的神经网络。这些额外的层使得DNN能够学习和表示更复杂的特征和模式。简而言之，一个“深”的网络意味着它有更多的层次和更多的能力，但同时也意味着它需要更多的数据和计算资源来进行训练。

深度学习的兴起归功于几个关键因素：

• 大数据：深度网络需要大量的训练数据。
• 计算能力的增强：如GPU的出现，使得大规模矩阵操作更为高效。
• 算法进步：如ReLU激活函数、Dropout等技术的引入，帮助解决梯度消失和过拟合问题。

3.案例分析

下面利用神经网络来解决XOR问题。

XOR问题是指异或逻辑运算，对于两个二进制输入，XOR运算的定义如下：

 从上面的表格可以看出，只有当两个输入不同时，输出才为1；如果两个输入相同，则输出为0。

XOR问题在神经网络领域的重要性在于：单个感知机（或称为线性单元）不能解决XOR问题，因为XOR函数不是线性可分的。这意味着你不能画一条直线来区分输出为1和输出为0的数据点。但是，使用一个具有至少一个隐藏层的多层神经网络可以解决XOR问题，这证明了引入隐藏层的重要性和多层神经网络的能力。

首先绘制XOR数据点：

import matplotlib.pyplot as plt
 
# XOR 数据
X = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])
y = np.array([[0], [1], [1], [0]])
 
plt.scatter(X[y[:,0] == 0][:, 0], X[y[:,0] == 0][:, 1], color='blue', label='0')
plt.scatter(X[y[:,0] == 1][:, 0], X[y[:,0] == 1][:, 1], color='red', label='1')
plt.xlabel('Input A')
plt.ylabel('Input B')
plt.legend()
plt.title('XOR Data Points')
plt.show()

结果图;

接下来利用神经网络进行预测：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# 定义Sigmoid函数及其导数
def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))
 
def sigmoid_derivative(x):
    return x * (1 - x)
 
# 定义神经网络结构
input_neurons = 2
hidden_neurons = 4
output_neurons = 1
 
# 初始化权重和偏置
np.random.seed(0)
input_hidden_weights = np.random.rand(input_neurons, hidden_neurons)
hidden_output_weights = np.random.rand(hidden_neurons, output_neurons)
hidden_bias = np.random.rand(1, hidden_neurons)
output_bias = np.random.rand(1, output_neurons)
 
# 定义训练数据 (XOR problem)
X = np.array([
    [0, 0],
    [0, 1],
    [1, 0],
    [1, 1]
])
y = np.array([
    [0],
    [1],
    [1],
    [0]
])
 
learning_rate = 0.5
epochs = 10000
errors = []
 
# 训练神经网络
for epoch in range(epochs):
    # 前向传播
    hidden_layer_input = np.dot(X, input_hidden_weights) + hidden_bias
    hidden_layer_output = sigmoid(hidden_layer_input)
    output_layer_input = np.dot(hidden_layer_output, hidden_output_weights) + output_bias
    predicted_output = sigmoid(output_layer_input)
    
    # 计算误差
    error = y - predicted_output
    
    # 记录MSE
    mse = np.mean(np.square(error))
    errors.append(mse)
    
    # 反向传播
    d_predicted_output = error * sigmoid_derivative(predicted_output)
    error_hidden_layer = d_predicted_output.dot(hidden_output_weights.T)
    d_hidden_layer = error_hidden_layer * sigmoid_derivative(hidden_layer_output)
    
    # 更新权重和偏置
    hidden_output_weights += hidden_layer_output.T.dot(d_predicted_output) * learning_rate
    output_bias += np.sum(d_predicted_output, axis=0, keepdims=True) * learning_rate
    input_hidden_weights += X.T.dot(d_hidden_layer) * learning_rate
    hidden_bias += np.sum(d_hidden_layer, axis=0, keepdims=True) * learning_rate
 
print(predicted_output)
 
# 绘制误差曲线
plt.plot(errors)
plt.title('Error (MSE) over Epochs')
plt.xlabel('Epochs')
plt.ylabel('Mean Squared Error (MSE)')
plt.show()

预测结果：

[[0.01707759]
 [0.98487483]
 [0.98482722]
 [0.01675426]]

误差曲线如下;

可见，随着迭代次数的增加， 均方误差MSE越来越小，最终收敛到0。

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