12.Bilinear Forms

Bilinear Forms  双线性形式

Metric Tensor  度量张量是双线性形式的一种。

在学习张量积之前，先讨论一般的线性形式

回顾一下上一节学的 Metric Tensor

度量张量所表示的矩阵 是个 对称矩阵。，

度量张量的性质：

双线性形式  定义：

是矩阵分量

当说B是双线性时，这是因为它是一种形式，其中每个单独的输入都是线性的，而另一个输入保持不变。

可以看到，度量张量 和 双线性形式  都遵循两个协变变换规则，它们具有相似的特性。
但是，它们实际上并不相同，
那么，它们的区别在哪？
 

度量张量 只是 双线性形式的  一个具体的情况，
事实上，度量张量具有 其他双线性形式  可能没有的两个额外的属性，

1. 由于度量张量表示的矩阵是对称的，使得 ， 
因此，

可以看出，度量张量中输入向量的顺序无关，因此，使用度量张量，可在 不更改任何内容的情况下交换输入，   但我们不一定能用双线性形式做到这一点，。

 2. 度量张量测量向量长度时，我们将相同的向量放入两次，我们总是得到＞=0的结果，

但对于某些双线性形式来说，这不一定正确。

所以，某些双线性形式是有效的度量张量，而另一些不是。
所以，双线性形式的一些例子可能是有效的度量张量，

 度量张量和双线性形式 就是 被包含  和 包含 的关系。

最后总结：