LeetCode 2894. 分类求和并作差【数学,容斥原理】1140

本文属于「征服LeetCode」系列文章之一，这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁，本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止；由于LeetCode还在不断地创建新题，本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中，我不仅会讲解多种解题思路及其优化，还会用多种编程语言实现题解，涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。

为了方便在PC上运行调试、分享代码文件，我还建立了相关的仓库：https://github.com/memcpy0/LeetCode-Conquest。在这一仓库中，你不仅可以看到LeetCode原题链接、题解代码、题解文章链接、同类题目归纳、通用解法总结等，还可以看到原题出现频率和相关企业等重要信息。如果有其他优选题解，还可以一同分享给他人。

由于本系列文章的内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏征服LeetCode系列文章目录一文以作备忘。

给你两个正整数 n 和 m 。

现定义两个整数 num1 和 num2 ，如下所示：

• num1：范围 [1, n] 内所有 无法被 m 整除 的整数之和。
• num2：范围 [1, n] 内所有 能够被 m 整除 的整数之和。

返回整数 num1 - num2 。

示例 1：

输入：n = 10, m = 3
输出：19
解释：在这个示例中：
- 范围 [1, 10] 内无法被 3 整除的整数为 [1,2,4,5,7,8,10] ，num1 = 这些整数之和 = 37 。
- 范围 [1, 10] 内能够被 3 整除的整数为 [3,6,9] ，num2 = 这些整数之和 = 18 。
返回 37 - 18 = 19 作为答案。
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示例 2：

输入：n = 5, m = 6
输出：15
解释：在这个示例中：
- 范围 [1, 5] 内无法被 6 整除的整数为 [1,2,3,4,5] ，num1 = 这些整数之和 =  15 。
- 范围 [1, 5] 内能够被 6 整除的整数为 [] ，num2 = 这些整数之和 = 0 。
返回 15 - 0 = 15 作为答案。
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示例 3：

输入：n = 5, m = 1
输出：-15
解释：在这个示例中：
- 范围 [1, 5] 内无法被 1 整除的整数为 [] ，num1 = 这些整数之和 = 0 。 
- 范围 [1, 5] 内能够被 1 整除的整数为 [1,2,3,4,5] ，num2 = 这些整数之和 = 15 。
返回 0 - 15 = -15 作为答案。
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提示：

• 1 <= n, m <= 1000

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解法 容斥原理

设 $k=\lfloor \frac{n}{m}\rfloor$ 。${\text{num}}_2$ 是 $[1,n]$ 内的 $m$ 的倍数之和，即
m + 2 m + ⋯ + k m =   ( 1 + 2 + ⋯ + k ) ⋅ m =   k ( k + 1 ) 2 ⋅ m m+2m+⋯+km= (1+2+⋯+k)⋅m= k(k+1)2⋅m

= = ​m+2m+⋯+km(1+2+⋯+k)⋅m2k(k+1)​⋅m​
${\text{num}}_1$ 相当于 $$(1+2+\cdots +n)-{\text{num}}_2$$
​所以
$$\begin{array}{rl}& {\text{num}}_1-{\text{num}}_2\\ =& (1+2+\cdots +n)-{\text{num}}_2\cdot 2\\ =& \frac{n(n+1)}{2}-k(k+1)m\end{array}$$

class Solution {
public:
    int differenceOfSums(int n, int m) {
        return n * (n + 1) / 2 - n / m * (n / m + 1) * m;
    }
};
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复杂度分析：

• 时间复杂度：$\mathcal{O}(1)$ 。
• 空间复杂度：$\mathcal{O}(1)$ 。