20231018 自然常数的存在性

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除了使用魏尔斯特拉斯定理，还可以使用不定式的洛必达法则来证明这一极限。首先，将$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$$ 写成以下形式：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$$

现在，我们可以使用洛必达法则，对指数函数的极限求导：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{\infty }{\infty }$$

然后对上式应用洛必达法则：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{d}{dx}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{d}{dx}\frac{1}{x}}$$

对分子和分母同时求导：

$$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{d}{dx}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{-\frac{1}{x^2}}$$

继续化简：

$$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to \infty }{\lim }1+\frac{1}{x}=1$$

最后，将洛必达法则的结果代回原极限：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e^1=e$$

因此，$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$$ 成立。这是使用洛必达法则的另一种方法。

2

魏尔斯特拉斯定理是一个重要的极限定理，它可以用来证明$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$$

首先，我们可以使用魏尔斯特拉斯定理的形式之一来证明这一极限。魏尔斯特拉斯定理的一种形式是：

如果函数f(x)是一个连续函数，而g(x)是一个无穷大的函数，那么：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x){]}^{g(x)}=e^{{\lim }_{x\to \infty }[f(x)-1]\cdot g(x)}$$

在这个情况下，我们可以将$${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$$ 视为$$[f(x){]}^{g(x)}$$ 的形式，其中：

$$f(x)=1+\frac{1}{x}$$
$$g(x)=x$$

然后，我们计算：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-1]\cdot g(x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{x}\right)\cdot x=1$$

所以，根据魏尔斯特拉斯定理，我们有：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e^1=e$$

因此，$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$$ 成立。