【每日一题Day350】LC2652倍数求和 | 数学+容斥原理

倍数求和【LC2652】

给你一个正整数 n ，请你计算在 [1，n] 范围内能被 3、5、7 整除的所有整数之和。

返回一个整数，用于表示给定范围内所有满足约束条件的数字之和。

暴力枚举

• 思路

  枚举$[1,n]$范围内每个数，判断是否能被 3、5、7 整除，如果能则累加结果

• 实现

  class Solution {
      public int sumOfMultiples(int n) {
          int res = 0;
          for (int i = 1; i <= n; i++){
              if (i % 3 == 0 || i % 5 == 0 || i % 7 == 0){
                  res += i;
              }
          }
          return res;
      }
  }
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  • 复杂度分析

    • 时间复杂度：$O(n)$
    • 空间复杂度：$O(1)$

从倍数出发

• 优化思路：借鉴埃氏筛

  • $[1,n]$中有许多数不需要进行判断，我们可以从3、5、7的倍数出发，如果其在$[1,n]$范围内，那么累加该数
  • 在统计的过程中要避免重复统计，$3\ast i_1$、$5\ast i_2$和$7\ast i_3$可能指向同一个数
    • 方法1：使用哈希表记录已经统计过的数
    • 方法2：规定统计先后顺序，如果$i$不能整除3，再判断$5\ast i$是否在范围内；如果$i$不能整除3和5，再判断$7\ast i$是否在范围内
      • 如果$i$中包含因子3，那么对于$i\ast 5=j\ast 3\ast 5$，在$i^{\prime }=i/3\ast 5$会统计该数

• 实现

  class Solution {
      public int sumOfMultiples(int n) {
          int res = 0;
          int i = 1;       
          while (i * 3 <= n){
              res += i * 3;
              // 避免重复计算 如果i中包含因子3，那么i*5=j*3*5，在i'=i/3*5会统计该数
              if (i % 3 != 0){
                  if (i * 5 <= n){
                      res += i * 5;
                  }
                  if (i % 5 != 0 && i * 7 <= n){
                      res += i * 7;
                  }
              }
              // if (i % 3 != 0 && i * 5 <= n){
              //     res += i * 5;
              // }
              // if (i % 3 != 0 && i % 5 != 0 && i * 7 <= n){
              //     res += i * 7;
              // }
              i++;
              
          }
          return res;
      }
  }
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  • 复杂度分析

    • 时间复杂度：$O(\log n)$
    • 空间复杂度：$O(1)$

数学+容斥原理

• 思路

  • 定义函数$f(x,n)$为$[1,n]$中能被$x$整除的数之和，那么一共有$m=\lfloor n/x\rfloor$个数能被$x$整数，组成首项为$x$、末项为$xm$的等差数列，和为
    $$f(x)=\frac{(x+mx)\ast m}{2}$$

  • 根据容斥原理，能被 3、5、7 整除的所有数之和为
    $$f(3,n)+f(5,n)+f(7,n)-f(3\ast 5,n)-f(3\ast 7,n)-f(5\ast 7,n)+f(3\ast 5\ast 7,n);$$

• 实现

  class Solution {
      public int sumOfMultiples(int n) {
          return f(3,n) + f(5,n) + f(7,n) - f(3*5,n) - f(3*7,n) - f(5*7,n) + f(3*5*7,n);
      }
      public int f(int x, int n){
          int m = n / x;
          return (x + m * x) * m / 2;
      }
  }
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  • 复杂度分析

    • 时间复杂度：$O(1)$
    • 空间复杂度：$O(1)$