线性回归原理

1、 线性回归的原理

1.1 线性回归应用场景

房价预测
销售额度预测
金融：贷款额度预测、利用线性回归以及系数分析因子
1
2
3

1.2 什么是线性回归

1.2.1定义与公式

线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。

• 特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归
  

那么怎么理解呢？我们来看几个例子

期末成绩 = 0.7×考试成绩+0.3×平时成绩
房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率
上面两个例子，我们看到特征值与目标值之间建立的一个关系，这个可以理解为回归方程。

1.2.2 线性回归的特征与目标的关系分析

线性回归当中的关系有两种，一种是线性关系，另一种是非线性关系。在这里我们只能画一个平面更好去理解，所以都用单个特征举例子。

• 线性关系
  
  

注释：如果在单特征与目标值的关系呈直线关系，或者两个特征与目标值呈现平面的关系
更高维度的我们不用自己去想，记住这种关系即可

注释：为什么会这样的关系呢？原因是什么？我们后面 讲解过拟合欠拟合重点介绍
如果是非线性关系，那么回归方程可以理解为：

1.2.3 广义线性模型

非线性关系？
线性模型
1、自变量一次
y = w1x1 + w2x2 + w3x3 + …… + wnxn + b
2、参数一次
y = w1x1 + w2x1^2 + w3x1^3 + w4x2^3 + …… + b

1.2.4 线性关系&线性模型

1、线性关系一定是线性模型
2、线性模型不一定是线性关系
1
2

2、线性回归的损失函数和优化原理（理解记忆）

假设刚才的房子例子，真实的数据之间存在这样的关系

真实关系：真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

那么现在呢，我们随意指定一个关系（猜测）

随机指定关系：预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率

请问这样的话，会发生什么？真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢？类似这样样子

那么存在这个误差，我们将这个误差给衡量出来。

2.1 损失函数

总损失定义为：

如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化（其实是数学当中的求导功能）回归的总损失！！！

2.2 优化算法

如何去求模型当中的W，使得损失最小？（目的是找到最小损失对应的W值）

线性回归经常使用的两种优化算法

• 优化方法？

  1. 正规方程

     • 天才 - 直接求解W
       拓展：
       1)求导，得到最大最小值：
       y = ax^2 + bx + c
       y’ = 2ax + b = 0
       x = - b / 2a
       2)矩阵逆计算：
       a * b = 1
       b = 1 / a = a ^ -1
       A * B = E
       [[1, 0, 0],
       [0, 1, 0],
       [0, 0, 1]]
       B = A ^ -1

  2. 梯度下降
     勤奋努力的普通人
     试错、改进

• 正规方程
  

理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果
缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果

• 梯度下降(Gradient Descent)
  公式：
  

理解：α为学习速率，需要手动指定（超参数），α旁边的整体表示方向
沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新W值
使用：面对训练数据规模十分庞大的任务 ，能够找到较好的结果

我们通过两个图更好理解梯度下降的过程


所以有了梯度下降这样一个优化算法，回归就有了"自动学习"的能力

3、 线性回归API

• sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True) # 通过方程计算的最小二乘法实现系数的解析

  • 通过正规方程优化
  • fit_intercept：是否计算偏置
  • LinearRegression.coef_：回归系数
  • LinearRegression.intercept_：偏置

• sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss=“squared_loss”, fit_intercept=True, learning_rate =‘invscaling’, eta0=0.01)

  • SGDRegressor类实现了随机梯度下降学习，它支持不同的loss函数和正则化惩罚项来拟合线性回归模型。
  • loss:损失类型
    • loss=”squared_loss”: 普通最小二乘法
  • fit_intercept
    • 是否计算偏置
  • learning_rate : string, optional 学习率算法
    • ‘constant’（常数）: eta = eta0 （eta0 ：初始学习率）
    • ‘optimal’: eta = 1.0 / (alpha * (t + t0)) [default]
    • ‘invscaling’: eta = eta0 / pow(t, power_t)
    • power_t=0.25:存在父类当中，对于一个常数值的学习率来说，可以使用learning_rate=’constant’ ，并使用eta0来指定学习率。
  • SGDRegressor.coef_：回归系数
  • SGDRegressor.intercept_：偏置

4、波士顿房价预测

4.1 分析开发流程：

• 获取数据集
• 划分数据集
• 特征工程：无量纲化 - 标准化
• 预估器流程：fit() --> 模型， coef_ intercept_
• 模型评估：
  • 回归的性能评估：均方误差
• 数据介绍
  

4.2 分析

回归当中的数据大小不一致，是否会导致结果影响较大。所以需要做标准化处理。同时我们对目标值也需要做标准化处理。

• 数据分割与标准化处理
• 回归预测
• 线性回归的算法效果评估

4.3 回归性能评估

均方误差(Mean Squared Error)MSE)评价机制：

注：y^i为预测值，¯y为真实值

• sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)
  • 均方误差回归损失
  • y_true:真实值
  • y_pred:预测值
  • return:浮点数结果

4.4正规方程和梯度下降对比

如图红色圈圈显示，官方给出的使用api的意见。

• 文字对比

• 选择：
• 小规模数据：
  • LinearRegression(不能解决欠或过拟合问题)
  • 岭回归，LASSO（可解决拟合问题）
• 大规模数据：
  • SGDRegressor

4.5 完整代码

import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split
import numpy as np


data_url = "http://lib.stat.cmu.edu/datasets/boston"
raw_df = pd.read_csv(data_url, sep="\s+", skiprows=22, header=None)
data = np.hstack([raw_df.values[::2, :], raw_df.values[1::2, :2]])
target = raw_df.values[1::2, 2]

print(data.shape)
print(target.shape)
print("data:\n",data)
print("target:\n",target)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(data, target, test_size=0.3, random_state=24)
print(x_train.shape)
print(x_test.shape)
print(y_train.shape)
print(y_test.shape)
1
2
3
4
5

print(x_train)
print(x_test)
print(y_train)
print(y_test)
1
2
3
4

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
# 需要做标准化处理对于特征值处理
std_x = StandardScaler()
x_train = std_x.fit_transform(x_train)
x_test = std_x.fit_transform(x_test)
print("x_train:\n", x_train)
print("x_test:\n", x_test)
1
2
3
4
5
6
7

# 使用线性模型进行预测
# 使用正规方程求解
lr = LinearRegression()
# # 此时在干什么？
lr.fit(x_train, y_train)
y_lr_predict = lr.predict(x_test)
print(lr.coef_)
print("正规方程预测的结果为：", y_lr_predict)
print("正规方程的均方误差为：", mean_squared_error(y_test, y_lr_predict))
1
2
3
4
5
6
7
8
9

# 随机梯度下降进行预测
# 随机梯度下降进行预测
sgd = SGDRegressor(learning_rate ='optimal', eta0=0.01, alpha=0.01, max_iter=1000)

sgd.fit(x_train, y_train)
print("SGD的权重参数为：", sgd.coef_)
y_sgd_predict = sgd.predict(x_test)
print("SGD的预测的结果为：", y_sgd_predict)
# # 怎么评判这两个方法好坏
print("SGD的均方误差为：", mean_squared_error(y_test, y_sgd_predict))
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

5、拓展-关于优化方法GD、SGD、SAG

5.1 GD

梯度下降(Gradient Descent)，原始的梯度下降法需要计算所有样本的值才能够得出梯度，计算量大，所以后面才有会一系列的改进。

5.2 SGD

随机梯度下降(Stochastic gradient descent)是一个优化方法。它在一次迭代时只考虑一个训练样本。

SGD的优点是：
高效
容易实现
SGD的缺点是：
SGD需要许多超参数：比如正则项参数、迭代数。
SGD对于特征标准化是敏感的。

5.3 SAG

随机平均梯度法(Stochasitc Average Gradient)，由于收敛的速度太慢，有人提出SAG等基于梯度下降的算法

Scikit-learn：SGDRegressor、岭回归、逻辑回归等当中都会有SAG优化