• 《视觉SLAM十四讲》公式推导（一）

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    CH3 三维空间刚体运动

    CH3-1 旋转矩阵的推导

    （1）二维空间中的旋转矩阵

    易得

    { x ′ = ∣ O P ′ ∣ c o s ( θ + β ) = ∣ O P ∣ ( c o s θ ⋅ c o s β − s i n θ ⋅ s i n β ) = x c o s β − y s i n β y ′ = ∣ O P ′ ∣ s i n ( θ + β ) = ∣ O P ∣ ( s i n θ ⋅ c o s β + c o s θ ⋅ s i n β ) = y c o s β + x s i n β \left\{ x′=|OP′|cos(θ+β)=|OP|(cosθ⋅cosβ−sinθ⋅sinβ)=xcosβ−ysinβy′=|OP′|sin(θ+β)=|OP|(sinθ⋅cosβ+cosθ⋅sinβ)=ycosβ+xsinβ \right. {x′=∣OP′∣cos(θ+β)=∣OP∣(cosθ⋅cosβ−sinθ⋅sinβ)=xcosβ−ysinβy′=∣OP′∣sin(θ+β)=∣OP∣(sinθ⋅cosβ+cosθ⋅sinβ)=ycosβ+xsinβ​

    写为矩阵形式即

    [ x ′ y ′ ] = [ c o s β − s i n β s i n β c o s β ] [ x y ] \left[x′y′\right]= \left[cosβ−sinβsinβcosβ\right] \left[xy\right] [x′y′​]=[cosβsinβ​−sinβcosβ​][xy​]

    （2）三维空间中的旋转矩阵

    以绕 z z z 轴旋转为例：

    将向量投影到 X-Y 平面，类似的有

    { x ′ = x c o s β − y s i n β y ′ = y c o s β + x s i n β z ′ = z (3-1-1) \left\{ x′=xcosβ−ysinβy′=ycosβ+xsinβz′=z \right. \tag{3-1-1} ⎩ ⎨ ⎧​x′=xcosβ−ysinβy′=ycosβ+xsinβz′=z​(3-1-1)

    写成矩阵形式

    [ x ′ y ′ z ′ ] = [ c o s β − s i n β 0 s i n β c o s β 0 0 0 1 ] [ x y z ] (3-1-2) \left[x′y′z′\right]= \left[cosβ−sinβ0sinβcosβ0001\right] \left[xyz\right] \tag{3-1-2} ​x′y′z′​ ​= ​cosβsinβ0​−sinβcosβ0​001​ ​ ​xyz​ ​(3-1-2)

    记为

    a ′ = R a (3-1-3) \boldsymbol{a^{\prime}}=\boldsymbol{Ra} \tag{3-1-3} a′=Ra(3-1-3)

    将式中 β \beta β 改为 − β -\beta −β，来表示向量 OP’ 顺时针旋转 − β -\beta −β 角度后，回到 OP 的过程，此时

    [ x y z ] = [ c o s β s i n β 0 − s i n β c o s β 0 0 0 1 ] [ x ′ y ′ z ′ ] (3-1-4) \left[xyz\right]= \left[cosβsinβ0−sinβcosβ0001\right] \left[x′y′z′\right] \tag{3-1-4} ​xyz​ ​= ​cosβ−sinβ0​sinβcosβ0​001​ ​ ​x′y′z′​ ​(3-1-4)

    可以看出

    a = R T a ′ (3-1-5) \boldsymbol{a}=\boldsymbol{R^Ta'} \tag{3-1-5} a=RTa′(3-1-5)

    由于 R R R 是正交矩阵，也即

    a = R − 1 a ′ (3-1-6) \boldsymbol{a}=\boldsymbol{R^{-1}a'} \tag{3-1-6} a=R−1a′(3-1-6)

    也就是说， R − 1 \boldsymbol{R^{-1}} R−1 表示向量经反方向旋转回到原向量的过程。

    当然，也可以单纯从数学角度推导，将式（3-1-3） 两端分别左乘 R − 1 \boldsymbol{R^{-1}} R−1，同样可以得到式 (3-1-5)。

    CH3-2 旋转矩阵是正交矩阵的证明

    （1）只需证明 R R T = I \boldsymbol{RR^T=I} RRT=I 即证明 R T = R − 1 \boldsymbol{R^T = R^{-1}} RT=R−1 即可。

    （2）分块矩阵转置：先对整体进行转置，再对每一个分块进行转置，例如向量 A = [ A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A N ] \boldsymbol{A=[A_1, A_2, A_3,...,A_N]} A=[A1​,A2​,A3​,...,AN​]，则其转置为

    A T = [ A 1 T A 2 T A 3 T . . . A N T ] (3-2-1) \boldsymbol{A}^T=\left[\right] \tag{3-2-1} AT= ​A1​TA2​TA3​T...AN​T​ ​(3-2-1)

    （3） ( A B ) T = B T A T \boldsymbol{(AB)^T=B^TA^T} (AB)T=BTAT

    （4）下面证明旋转矩阵 R \boldsymbol{R} R 是正交矩阵：

    不妨设变换前后坐标系基底分别为 [ e 1 , e 2 , e 3 ] [\boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2}, \boldsymbol{e_3}] [e1​,e2​,e3​] 和 [ e 1 ′ , e 2 ′ , e 3 ′ ] [\boldsymbol{e_1'}, \boldsymbol{e_2'}, \boldsymbol{e_3'}] [e1′​,e2′​,e3′​]，由于向量本身并未改变，则有

    [ e 1 , e 2 , e 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ e 1 ′ , e 2 ′ , e 3 ′ ] [ a 1 ′ a 2 ′ a 3 ′ ] (3-2-2) \left[\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\right]\left[\right]=\left[\boldsymbol{e}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{e}_{2}^{\prime}, \boldsymbol{e}_{3}^{\prime}\right]\left[\right] \tag{3-2-2} [e1​,e2​,e3​] ​a1​a2​a3​​ ​=[e1′​,e2′​,e3′​] ​a1′​a2′​a3′​​ ​(3-2-2)

    将上式两端分别左乘 [ e 1 T e 2 T e 3 T ] \left[\right] ​e1T​e2T​e3T​​ ​ 得到，

    [ a 1 a 2 a 3 ] = [ e 1 T e 1 ′ e 1 T e 2 ′ e 1 T e 3 ′ e 2 T e 1 ′ e 2 T e 2 ′ e 2 T e 3 ′ e 3 T e 1 ′ e 3 T e 2 ′ e 3 T e 3 ′ ] [ a 1 ′ a 2 ′ a 3 ′ ] (3-2-3) \left[\right]=\left[\right]\left[\right] \tag{3-2-3} ​a1​a2​a3​​ ​= ​e1T​e1′​e2T​e1′​e3T​e1′​​e1T​e2′​e2T​e2′​e3T​e2′​​e1T​e3′​e2T​e3′​e3T​e3′​​ ​ ​a1′​a2′​a3′​​ ​(3-2-3)

    则

    R = [ e 1 T e 1 ′ e 1 T e 2 ′ e 1 T e 3 ′ e 2 T e 1 ′ e 2 T e 2 ′ e 2 T e 3 ′ e 3 T e 1 ′ e 3 T e 2 ′ e 3 T e 3 ′ ] (3-2-4) \boldsymbol{R}=\left[\right] \tag{3-2-4} R= ​e1T​e1′​e2T​e1′​e3T​e1′​​e1T​e2′​e2T​e2′​e3T​e2′​​e1T​e3′​e2T​e3′​e3T​e3′​​ ​(3-2-4)

    这是向量 a ′ \boldsymbol{a'} a′ 经旋转得到 a \boldsymbol{a} a 的旋转矩阵。

    再将式 (3-8) 两端分别左乘 [ e 1 ′ T e 2 ′ T e 3 ′ T ] \left[\right] ​e1′T​e2′T​e3′T​​ ​ 得到，

    [ e 1 ′ T e 1 e 1 ′ T e 2 e 1 ′ T e 3 e 2 ′ T e 1 e 2 ′ T e 2 e 2 ′ T e 3 e 3 ′ T e 1 e 3 ′ T e 2 e 3 ′ T e 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ a 1 ′ a 2 ′ a 3 ′ ] (3-2-5) \left[\right]\left[\right]= \left[\right] \tag{3-2-5} ​e1′T​e1​e2′T​e1​e3′T​e1​​e1′T​e2​e2′T​e2​e3′T​e2​​e1′T​e3​e2′T​e3​e3′T​e3​​ ​ ​a1​a2​a3​​ ​= ​a1′​a2′​a3′​​ ​(3-2-5)

    显然，这是向量 a \boldsymbol{a} a 经过反方向旋转得到 a ′ \boldsymbol{a'} a′ 的过程，那么有

    R − 1 = [ e 1 ′ T e 1 e 1 ′ T e 2 e 1 ′ T e 3 e 2 ′ T e 1 e 2 ′ T e 2 e 2 ′ T e 3 e 3 ′ T e 1 e 3 ′ T e 2 e 3 ′ T e 3 ] (3-2-6) \boldsymbol{R^{-1}}=\left[\right] \tag{3-2-6} R−1= ​e1′T​e1​e2′T​e1​e3′T​e1​​e1′T​e2​e2′T​e2​e3′T​e2​​e1′T​e3​e2′T​e3​e3′T​e3​​ ​(3-2-6)

    根据分块矩阵转置规则，易得

    R T = R − 1 (3-2-7) \boldsymbol{R^T = R^{-1}} \tag{3-2-7} RT=R−1(3-2-7)

    证毕。

    CH3-3 变换矩阵的逆的推导

    （1）初等行变换法求矩阵的逆：将矩阵 A \boldsymbol{A} A 写成增广矩阵的形式即 ( A ∣ I ) \boldsymbol{(A | I)} (A∣I) ，经初等行变换，变为 ( I ∣ A − 1 ) \boldsymbol{(I | A^{-1})} (I∣A−1)，则求出矩阵 A \boldsymbol{A} A 的逆。

    （2）已知三维空间变换矩阵为：

    T = [ R 3 × 3 t 3 × 1 0 T 1 ] (3-3-1) \boldsymbol{T}=\left[\right] \tag{3-3-1} T=[R3×3​0T​t3×1​1​](3-3-1)

    写成增广矩阵

    [ R 3 × 3 t 3 × 1 E 3 × 3 0 0 T 1 0 1 ] (3-3-2) \left[\right] \tag{3-3-2} [R3×3​0T​t3×1​1​E3×3​0​01​](3-3-2)

    经过初等行变换，将前两列变为单位矩阵时，后两列即为 T − 1 \boldsymbol{T^{-1}} T−1。

    首先，将第一行左乘 R 3 × 3 − 1 \boldsymbol{R}_{3\times3}^{-1} R3×3−1​，上式变为

    [ E 3 × 3 R 3 × 3 − 1 t 3 × 1 R 3 × 3 − 1 0 3 × 1 0 T 1 0 1 ] (3-3-3) \left[\right] \tag{3-3-3} [E3×3​0T​R3×3−1​t3×1​1​R3×3−1​0​03×1​1​](3-3-3)

    再将第二行乘 − R 3 × 3 − 1 t 3 × 1 -\boldsymbol{R}_{3\times3}^{-1}\boldsymbol{t}_{3\times1} −R3×3−1​t3×1​ ，加到第一行上，得

    [ E 3 × 3 0 3 × 1 R 3 × 3 − 1 − R 3 × 3 − 1 t 3 × 1 0 T 1 0 1 ] (3-3-4) \left[\right] \tag{3-3-4} [E3×3​0T​03×1​1​R3×3−1​0​−R3×3−1​t3×1​1​](3-3-4)

    又因为 R \boldsymbol{R} R 为正交矩阵，有 R − 1 = R T \boldsymbol{R^{-1}=R^T} R−1=RT。

    则变换矩阵的逆矩阵为

    T − 1 = [ R T − R T t 0 T 1 ] (3-3-5) \boldsymbol{T}^{-1}=\left[\right] \tag{3-3-5} T−1=[RT0T​−RTt1​](3-3-5)

    CH3-4 罗德里格斯公式推导

    （1）注意绕轴旋转的方式，（类似直线绕轴旋转形成圆锥的过程），也就是说，该直线是母线，所绕的轴是中心线。

    （2）向量点乘有交换律 a ⃗ ⋅ b ⃗ = b ⃗ ⋅ a ⃗ \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a} a ⋅b =b ⋅a ；没有结合律，即 ( a ⃗ ⋅ b ⃗ ) ⋅ c ⃗ ≠ a ⃗ ⋅ ( b ⃗ ⋅ c ⃗ ) (\vec{a} \cdot \vec{b})\cdot\vec{c} \not=\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c}) (a ⋅b )⋅c =a ⋅(b ⋅c )。矩阵乘法有结合律即 ( A B ) C = A ( B C ) \boldsymbol{(AB)C=A(BC)} (AB)C=A(BC)。

    （3）向量投影定理

    如图，有

    ∣ a ⃗ ∣ c o s θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ b ⃗ ∣ = a ⃗ ⋅ b 0 ⃗ (3-4-1) |\vec{a}|cos\theta=\frac {\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}=\vec{a}\cdot\vec{b_0} \tag{3-4-1} ∣a ∣cosθ=∣b ∣a ⋅b ​=a ⋅b0​ ​(3-4-1)

    其中 b 0 ⃗ \vec{b_0} b0​ ​为与向量 b ⃗ \vec{b} b 同向的单位向量。

    式（3-19）表示向量 a ⃗ \vec{a} a 在向量 b ⃗ \vec{b} b 上的投影的模长为 a ⃗ ⋅ b 0 ⃗ \vec{a}\cdot\vec{b_0} a ⋅b0​ ​，那么，其在 b ⃗ \vec{b} b 上的投影向量为 ( a ⃗ ⋅ b 0 ⃗ ) ⋅ b 0 ⃗ (\vec{a}\cdot\vec{b_0})\cdot\vec{b_0} (a ⋅b0​ ​)⋅b0​ ​。

    （4）下面进行罗德里格斯公式的推导：

    如上图所示，向量 v ⃗ \vec{v} v 绕 u ⃗ \vec{u} u 旋转 θ \theta θ 得到 v ′ ⃗ \vec{v'} v′ ，其中 u ⃗ \vec{u} u 是单位向量 。

    ① 向量 v ⃗ \vec{v} v 分解： v ⃗ = v ⃗ ∥ + v ⃗ ⊥ \vec{v}=\vec{v}_{\parallel}+\vec{v}_{\perp} v =v ∥​+v ⊥​；

    ② 根据向量投影定理， v ⃗ ∥ = ( v ⃗ ⋅ u ⃗ ) ⋅ u ⃗ \vec{v}_{\parallel}=(\vec{v}\cdot\vec{u})\cdot\vec{u} v ∥​=(v ⋅u )⋅u

    ③ 综合 ① ② ，得

    v ⃗ ⊥ = v ⃗ − v ⃗ ∥ = v ⃗ − ( v ⃗ ⋅ u ⃗ ) ⋅ u ⃗ (3-4-2) \vec{v}_{\perp}=\vec{v}-\vec{v}_{\parallel}=\vec{v}-(\vec{v}\cdot\vec{u})\cdot\vec{u} \tag{3-4-2} v ⊥​=v −v ∥​=v −(v ⋅u )⋅u (3-4-2)

    ④ 借助辅助向量 w ⃗ \vec{w} w ，且 w ⃗ = u ⃗ × v ⃗ ⊥ \vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}_{\perp} w =u ×v ⊥​，即向量 w ⃗ \vec{w} w 、 u ⃗ \vec{u} u 、 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\perp} v ⊥​ 两两垂直。俯视图如下：

    则有

    w ⃗ = u ⃗ × v ⃗ ⊥ = u ⃗ × ( v ⃗ − v ⃗ ∥ ) = u ⃗ × v ⃗ − u ⃗ × v ⃗ ∥ = u ⃗ × v ⃗ (3-4-3) \tag{3-4-3} w =u ×v ⊥​===​u ×(v −v ∥​)u ×v −u ×v ∥​u ×v ​(3-4-3)

    ⑤ 将 v ′ ⃗ ⊥ \vec{v'}_{\perp} v′ ⊥​ 投影到 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\perp} v ⊥​ 和 $\vec{w} $ 上，则有

    v ′ ⃗ ⊥ = v ⃗ v ′ + v ⃗ w ′ (3-4-4) \vec{v'}_{\perp}=\vec{v}_v'+\vec{v}_w' \tag{3-4-4} v′ ⊥​=v v′​+v w′​(3-4-4)

    ⑥ 由上图

    ∣ v ′ ⃗ ⊥ ∣ = ∣ w ⃗ ∣ = ∣ v ⃗ ⊥ ∣ (3-4-5) |\vec{v'}_{\perp}|=|\vec{w}|=|\vec{v}_{\perp}| \tag{3-4-5} ∣v′ ⊥​∣=∣w ∣=∣v ⊥​∣(3-4-5)

    且

    ∣ v ⃗ w ′ ∣ = ∣ v ′ ⃗ ⊥ ∣ s i n θ = ∣ w ⃗ ∣ s i n θ |\vec{v}_w'|=|\vec{v'}_{\perp}|sin\theta=|\vec{w}|sin\theta ∣v w′​∣=∣v′ ⊥​∣sinθ=∣w ∣sinθ

    结合式（2-23），有

    v ⃗ w ′ = w ⃗ s i n θ (3-4-6) \vec{v}_w'=\vec{w}sin\theta \tag{3-4-6} v w′​=w sinθ(3-4-6)

    同理

    ∣ v ⃗ v ′ ∣ = ∣ v ⃗ ⊥ ∣ c o s θ |\vec{v}_v'|=|\vec{v}_{\perp}|cos\theta ∣v v′​∣=∣v ⊥​∣cosθ

    得

    v ⃗ v ′ = v ⃗ ⊥ c o s θ (3-4-7) \vec{v}_v'=\vec{v}_{\perp}cos\theta \tag{3-4-7} v v′​=v ⊥​cosθ(3-4-7)

    ⑦ 综合式（3-22）、（3-24）、（3-25），得

    v ′ ⃗ ⊥ = v ⃗ v ′ + v ⃗ w ′ = v ⃗ ⊥ c o s θ + w ⃗ s i n θ (3-4-8) \vec{v'}_{\perp}=\vec{v}_v'+\vec{v}_w'=\vec{v}_{\perp}cos\theta+\vec{w}sin\theta \tag{3-4-8} v′ ⊥​=v v′​+v w′​=v ⊥​cosθ+w sinθ(3-4-8)

    ⑧ 综上，

    v ′ ⃗ = v ⃗ ∥ + v ′ ⃗ ⊥ = ( v ⃗ ⋅ u ⃗ ) ⋅ u ⃗ + v ⃗ ⊥ c o s θ + w ⃗ s i n θ = ( v ⃗ ⋅ u ⃗ ) ⋅ u ⃗ + ( v ⃗ − ( v ⃗ ⋅ u ⃗ ) ⋅ u ⃗ ) c o s θ + u ⃗ × v ⃗ s i n θ = ( v ⃗ ⋅ u ⃗ ) ⋅ u ⃗ + s i n θ u ⃗ × v ⃗ + c o s θ v ⃗ − c o s θ ( v ⃗ ⋅ u ⃗ ) ⋅ u ⃗ = c o s θ v ⃗ + ( 1 − c o s θ ) ( v ⃗ ⋅ u ⃗ ) ⋅ u ⃗ + s i n θ u ⃗ × v ⃗ (3-4-9) \tag{3-4-9} v′ =====​v ∥​+v′ ⊥​(v ⋅u )⋅u +v ⊥​cosθ+w sinθ(v ⋅u )⋅u +(v −(v ⋅u )⋅u )cosθ+u ×v sinθ(v ⋅u )⋅u +sinθu ×v +cosθv −cosθ(v ⋅u )⋅u cosθv +(1−cosθ)(v ⋅u )⋅u +sinθu ×v ​(3-4-9)

    ⑨ 设矩阵

    u = [ u x u y u z ] ， v = [ v x v y v z ] \boldsymbol{u}=\left[\right]， \boldsymbol{v}=\left[\right] u= ​ux​uy​uz​​ ​，v= ​vx​vy​vz​​ ​

    1）将向量点乘转换为矩阵乘法，（此处应用向量交换律和矩阵结合律）

    ( v ⃗ ⋅ u ⃗ ) ⋅ u ⃗ = u ⃗ ⋅ ( v ⃗ ⋅ u ⃗ ) = u ( u T v ) = u u T v (3-4-10) (\vec{v}\cdot\vec{u})\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot(\vec{v}\cdot\vec{u})=\boldsymbol{u}(\boldsymbol{u}^T\boldsymbol{v})=\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^T\boldsymbol{v} \tag{3-4-10} (v ⋅u )⋅u =u ⋅(v ⋅u )=u(uTv)=uuTv(3-4-10)

    2）写成反对称矩阵形式

    u ⃗ × v ⃗ = ∣ i j k u x u y u z v x v y v z ∣ = [ u y v z − u z v y u z v x − u x v z u x v y − u y v x ] = [ 0 − u z u y u z 0 − u x − u y u x 0 ] [ v x v y v z ] = u ∧ v (3-4-11) \vec{u}\times\vec{v}=\left| \right|=\left[\right]= \left[\right]\left[\right]=\boldsymbol{u}^{\wedge}\boldsymbol{v} \tag{3-4-11} u ×v = ​iux​vx​​juy​vy​​kuz​vz​​ ​= ​uy​vz​−uz​vy​uz​vx​−ux​vz​ux​vy​−uy​vx​​ ​= ​0uz​−uy​​−uz​0ux​​uy​−ux​0​ ​ ​vx​vy​vz​​ ​=u∧v(3-4-11)

    ⑩ 因为 $ \boldsymbol{v’}=\boldsymbol{R}\boldsymbol{v}$

    综上所述，式（3-27）可化为

    R = c o s θ I + ( 1 − c o s θ ) u u T + s i n θ u ∧ (3-4-12) \boldsymbol{R}=cos\theta\boldsymbol{I}+(1-cos\theta)\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^T+sin\theta\boldsymbol{u}^{\wedge} \tag{3-4-12} R=cosθI+(1−cosθ)uuT+sinθu∧(3-4-12)

    证毕。

    （5）旋转矩阵到旋转向量的转换

    将式（3-4-12）两边取迹，得

    t r ( R ) = c o s θ t r ( I ) + ( 1 − c o s θ ) t r ( u u T ) + s i n θ t r ( u ∧ ) = 3 c o s θ + ( 1 − c o s θ ) + 0 = 1 + 2 c o s θ (3-4-13) \tag{3-4-13} tr(R)===​cosθtr(I)+(1−cosθ)tr(uuT)+sinθtr(u∧)3cosθ+(1−cosθ)+01+2cosθ​(3-4-13)

    其中， t r ( u u T ) = u x 2 + u y 2 + u z 2 = 1 tr(\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^T)=u_x^2+u_y^2+u_z^2=1 tr(uuT)=ux2​+uy2​+uz2​=1（向量 u \boldsymbol{u} u是单位向量，模长为1）。

    那么，对于转角 θ \theta θ 有

    θ = a r c c o s ( t r ( R ) − 1 2 ) (3-4-14) \theta=arccos(\frac {tr(\boldsymbol{R})-1} {2}) \tag{3-4-14} θ=arccos(2tr(R)−1​)(3-4-14)

    对于转轴 u \boldsymbol{u} u 有，

    R u = u (3-4-15) \boldsymbol{Ru=u} \tag{3-4-15} Ru=u(3-4-15)

    即转轴 u \boldsymbol{u} u 是旋转矩阵 R \boldsymbol{R} R 特征值为 1 对应的特征向量。

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