二分查找：如何用最省内存的方式实现快速查找功能？

文章来源于极客时间前google工程师−王争专栏。

有序数据集合的查找算法：二分查找(Binary Search)算法，也叫折半查找算法。二分查找的思想非常简单，但是难掌握好，灵活运用更加困难。

问题：假设有1000万个整数数据，每个数据占8个字节，如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在这1000万数据中？这个功能不能占用太多的内存空间，最多不超过100MB，如何解决？

无处不在的二分思想

随机写一个0~99之间的数字，猜数字。（如果猜测范围的数字有偶数个，中间数有两个，就选择较小的那个）

0~999的数字，最多也只要10次就能猜中。

开发场景：假设有1000条订单数据，已经按照订单金额从小到大排序，每个订单金额都不同，并且最小单位是元。我们现在想知道是否存在金额等于19元的订单。如果存在，则返回订单数据，如果不存在则返回null。

最简单的办法是从第一个开始，一个一个遍历。最坏情况下需要1000次。用二分查找能不能更快速地解决呢？

假设只有10个订单，订单金额分别是：8，11，19，23，27，33，45，55，67，98。

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，知道找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。

O(logn)惊人的查找速度

二分查找是一种非常高效的查找算法，我们来分析一下它的时间复杂度。

假设数据大小为n，每次查找数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

可以看出来，这是一个等比数列。其中n/2k=1时，k的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/2k=1，我们可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 O(logn)。

二分查找是目前为止遇到的第一个时间复杂度为O(logn)的算法。后面的堆、二叉树等操作，它们的时间复杂度也是O(logn)。O(logn)这种对数时间复杂度，是一种及其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级O(1)的算法还要高效。

logn是一个非常“恐怖”的数量级，即便n非常非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，这个数很大，大约是42亿。也就是说，如果在42亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较32次。

O(1)有可能表示的是一个非常大的常量值，比如O(1000)，O(10000)。所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有O(logn)的算法执行效率高。

对数对应的就是指数。“阿基米德与国王下棋的故事”

二分查找的递归与非递归实现

简单的二分查找不难写，二分查找的变体问题，才是真正烧脑的。

最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，代码实现如下：

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;

  while (low <= high) {
    int mid = (low + high) / 2;
    if (a[mid] == value) {
      return mid;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      high = mid - 1;
    }
  }
  return -1;
}

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容易出错的3个地方：

1.循环退出条件

是low<=high，而不是low

2.mid的取值

mid=(low+high)/2这种写法是有问题的。如果low和high比较大，两者之和就有可能溢出。

改进的方法是mid=low+(high-low)/2

如果性能做到极致的话，更进一步可以将除以2转化为位运算mid=((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。

3.low和high的更新

low=mid+1,high=mid-1。如果写成low=mid或者high=mid就可能发生死循环。

比如high=3，low=3时，如果a[3]不等于value，就会导致一直循环不退出。

实际上，二分查找除了用循环来实现，还可以用递归来实现。

// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
  return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}

private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  if (low > high) return -1;

  int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] == value) {
    return mid;
  } else if (a[mid] < value) {
    return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
  } else {
    return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
  }
}

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二分查找应用场景的局限性

1.二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组

二分查找不能依赖链表这个数据结构。

主要原因是二分查找需要按照下标随机访问元素。链表的随机访问时间复杂度为O(n)。所以如果使用链表存储，二分查找的时间复杂度就会很高。

二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。

2.二分查找针对的是有序数据

要求数据必须有序，如果无序，则需要先排序。排序时间复杂度最低是O(nlogn)。针对一组静态数据，没有频繁插入，删除，可以一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊。

针对动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。那么针对动态数据集合，如何快速查找某个数据呢？

3.数据量太小不适合二分查找

只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才比较明显。

不过有例外：如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，都推荐使用二分查找。

例如：数组中存储的都是长度超过300的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，会非常耗时。我们要尽量减少比较次数，这个时候二分查找比顺序遍历更有优势。

4.数据量太大也不适合二分查找

二分查找的底层依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也不能用二分查找。

解答开篇

问题：如何在1000万个整数中快速查找某个整数？

内存限制是100MB，每个数据大小是8字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用差不多80MB，符合内存限制。

这个问题暗藏了“玄机”，如果用散列表和二叉树实际上是不行的。虽然大部分情况下，用二分查找可以解决的问题，用散列表、二叉树都可以解决，但是它们需要额外的内存空间，100MB的内存肯定存不下。所以最省内存的存储方式，是数组。

思考

1.如何变成实现“求一个数的平方根”，要求精确到小数点后6位。（二分查找）

2.如果使用链表存储，二分查找的时间复杂度是多少？

假设链表长度为n，二分查找每次都要找到中间点(计算中忽略奇偶数差异):
第一次查找中间点，需要移动指针n/2次；
第二次，需要移动指针n/4次；
第三次需要移动指针n/8次；
…
以此类推，一直到1次为值

总共指针移动次数(查找次数) = n/2 + n/4 + n/8 + …+ 1，这显然是个等比数列，根据等比数列求和公式：Sum = n - 1.

最后算法时间复杂度是：O(n-1)，忽略常数，记为O(n)，时间复杂度和顺序查找时间复杂度相同

但是稍微思考下，在二分查找的时候，由于要进行多余的运算，严格来说，会比顺序查找时间慢