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高数笔记03：几何、物理应用
图源：文心一言
本文是我学习高等数学几何、物理应用的一些笔记和心得，希望可以与考研路上的小伙伴一起努力上岸~~🥝🥝
- 第1版：查资料、画导图~🧩🧩
参考资料：《高等数学 基础篇》武忠祥
📇目录
🦮思维导图
- 🌸思维导图为整理武老师基础教材所列内容，时间关系有些仓促，请多包涵~
- 🌸博文后面会以大纲的形式复述一遍，面向复习，不会写得很详细，且可能有误；较为重要的内容有从网络找相关配图并给出大佬博文链接~
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🐳向量代数
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🐋数量积【数字】
- 几何表示：
- 代数表示：
- 几何应用
- 求夹角
- 判定垂直
- 几何表示：
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🐋向量积【向量】
- 几何表示
- 模：
- 方向：右手法则
- 模：
- 代数表示：矩阵【首行基坐标，次行向量a的分量，尾行向量b的分量】
- 运算规律：
【模不变，方向相反】 - 几何应用
- 求同时垂直于 a 和 b 的向量
- 判定平行
- 求以a和b为邻边的平行四边形的面积
- 几何表示
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🐋混合积【数字】
- 几何表示：
- 代数表示：矩阵【首行向量a的分量，次行向量b的分量，尾行向量c的分量】
- 运算规律
- 轮换对称性：
- 交换变号：
- 原理：矩阵交换1次行列变正负号
- 轮换对称性：
- 几何应用
- 求以a、b、c为邻边的平行六边体的面积
- 求向量共面：(abc)=0【等式中任意两个向量平行，则3个向量必共面】
图源：混合积的几何意义
- 几何表示：
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🐳空间解析几何
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🐋平面空间与直线
- 概要
- 平面方程
- 一般式：
- 点法式：平面上1点(x0,y0,z0)和法线向量(A,B,C)表示直线
- 截距式：经过坐标轴的3个交点表示平面
- 一般式：
- 直线方程
- 一般式：2个平面的交线表示直线
- 对称式：直线上1点(x0,y0,z0)和方向向量(l,m,n)表示直线
- 参数式：直线上1点(x0,y0,z0)和方向向量(l,m,n)表示直线
- 一般式：2个平面的交线表示直线
- 点到平面的距离
距离为M1M0在平面法向量的投影长度：
代入点，M1与MO点乘为分子，M0满足平面方程化简，平面法向量的模为分母：
- 点到直线的距离
平行四边形满足等式：
\(S=|\vec{AB}\times\vec{S}|=d\cdot|\vec{S}|\)
代入方向向量S（l,m,n），B（x1,x2,x3）,A（x0,y0,z0），得
\(d=\frac{\vec{AB}\times\vec{S}}{|\vec{S}|}=\frac{(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\times(l,m,n)}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\)
- 平面方程
- 题型
- 求法向量、切线向量，建立平面与直线的方程
- 求点到直线的距离
- 概要
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🐋曲面与空间曲线
- 概要
- 曲面方程
- \(F(x,y,z) = 0\)
- \(z=f(x,y)\)
- 空间曲线
- 参数式【螺线】
图源：确实没找到...
- 一般式：2个曲面的交线表示空间曲线
- \(\left\{\begin{matrix} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{matrix}\right.\)
- 常见曲面
- 旋转面：平面曲线绕平面直线旋转
-
柱面：平行与定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹
- 二次曲面
- 圆柱面
- 圆锥面
- 旋转抛物面
- 椭球面
- 空间曲线投影
- 投影柱面：曲线一般式联立消去z，得到的二元方程即为母线为z轴的投影柱面
- 投影平面：在投影柱面方程的基础上，增加限制条件 z = 0，检查其它变量的取值范围，即为曲线在xoy面的投影
- 旋转面：平面曲线绕平面直线旋转
- 曲面方程
-
题型
- 曲面方程
- 求柱面方程
- 求旋转面方程
- 求投影曲线方程
- 解析几何
- 曲面的切平面与法线，核心：求法向量
- 曲线的切线与法平面，核心：求切向量
- 曲面方程
- 概要
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-
🐳积分学的几何应用
-
🐋单积分、二重积分
- 概念
- 平面图形的面积
- 直角坐标
- \(S=\int_{a}^{b}\mathrm{d}x\int_{f(x)}^{g(x)}\mathrm{d}y=\int_{a}^{b} f(x)-g(x) \mathrm{d}x\)
- 极坐标
- \(S=\int_{\alpha}^{\beta}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{r(\theta)}r\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta) \mathrm{d}x\)
- 直角坐标
- 旋转体体积
- 绕x轴旋转\(V_x=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x\) ，其中体积微元\(\mathrm{d}v\) = 底面积\(\pi f^2(x)\) x 高\(\mathrm{d}x\)
- 绕y轴旋转\(V_y=2\pi\int_{a}^{b}xf(x)\mathrm{d}x\) ，其中体积微元\(\mathrm{d}v\) = 环状窄带周长 \(2\pi x\)x 截面积\(f(x)\mathrm{d}x\)
- 绕直线旋转\(V=2\pi\int\int_{D_xy}r(x,y)\mathrm{d}\sigma\) ，其中体积微元\(\mathrm{d}v\) = = 环状窄带周长\(2\pi r(x,y)\) x 截面积\(\mathrm{d}\sigma\)，\(r(x,y)\)表示点到直线距离
- 曲线弧长：同对弧长的线积分
- 旋转体侧面积
- 绕x轴旋转\(S=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}s\) ，其中面积微元\(\mathrm{d}S\) = 环状窄带周长\(2\pi \mathrm{d}s\) x 高度\(f(x)\)，\(ds=\sqrt{1+y'^2(x)}\)
- 平面图形的面积
- 题型
- 几何应用：
- 定积分求面积
- 绕轴旋转体积
- 物理应用
- 容积 = 底面积 x 高
- 球1底面积\(\pi\times x^2\)，高度微元\(\mathrm{d}y\)
- 球1体积微元\(\mathrm{d}v=\pi\times x^2\mathrm{d}y\)，积分域-1到1/2
- 球1体积\(V=\pi\int_{-1}^{1/2} x^2\mathrm{d}y\)，代入圆的公式\(x^2+y^2=1\)，得\(V=\pi\int_{-1}^{1/2} 1-y^2\mathrm{d}y\)
- 球2与球1体积相等，球1体积×2即为所求
- 做功 = 力 x 距离
- 球1受力微元\(\rho g\mathrm{d}v=\rho g(\pi\times x^2\mathrm{d}y)\)，距离\(2-y\)；
- 球1做功微元\(\mathrm{d}w=\rho g\pi\times (1-y^2)\mathrm(2-y){d}y\)；
- 以上，球1区域做功\(W=\rho g\pi\int_{-1}^{1/2} (1-y^2)\mathrm(2-y)\mathrm{d}y\)；
- 同理，球2区域做功\(W=\rho g\pi\int_{1/2}^{2} (2y-y^2)\mathrm(2-y)\mathrm{d}y\)；
- 压强 = 压力 x 面积
- 区域1压力：\(\rho gH=\rho g(h+1-y)\)，区域1面积\(2 \times \mathrm{d}y\)；
- 区域1压强微元：\(\mathrm{d}p=\rho g(h+1-y)\times2\mathrm{d}y\)；
- 区域1压强：\(P=2\rho g\int_{1}^{h+1} (h+1-y)\mathrm{d}y\)；
- 区域2压力：\(\rho gH=\rho g(h+1-y)\)，区域2面积\(2x\mathrm{d}y\)；
- 区域2压强微元：\(\mathrm{d}p=\rho g(h+1-y)\times2\sqrt{y}\mathrm{d}y\)；
- 区域2压强：\(P=2\rho g\int_{0}^{1} (h+1-y)\sqrt{y}\mathrm{d}y\)；
- 容积 = 底面积 x 高
- 几何应用：
- 概念
-
🐋三重积分
- 简述：区域点的函数值 x 体积微元，累加求和
- 性质
- 奇偶性、轮换对称性
- 不等式性质
- 积分中值定理
- 计算
- 先一后二
- 计算
- 作垂直于z轴的直线，穿过封闭底面z1(x,y)与顶面z2(x,y)，即z的积分上下限是x，y的函数
- 先计算有关z的积分，再转化为求x，y的二重积分
- 适合坐标
- 印象中比较万能...
\(\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\iint_{x^2+y^2\le 1/2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}z\mathrm{d}z\)
- 计算
- 先二后一
- 计算
- 作平行于z轴的截面，得到封闭曲线，即z的积分上下限是常数
- 先计算有关x,y的二重积分，再转化为求z的单积分
- 适合坐标
- 被积函数：\(f(x,y,z)=\phi(z)\)，这一步可能需要借助奇偶性、对称性转换得到
- 积分域：\(D_z\)面积较为规则，方便计算
\(\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\int_{0}^{1/\sqrt2}z\mathrm{d}z \iint_{x^2+y^2\le z^2} \mathrm{d}x\mathrm{d} y+\int_{1/\sqrt2}^{1}z\mathrm{d}z \iint_{x^2+y^2\le 1-z^2} \mathrm{d}x\mathrm{d} y\)
- 计算
- 柱坐标
- 与直角坐标的关系
- 坐标
- \(x=rcos\theta\)
- \(y = rsin\theta\)
- \(z=z\)
- 体积微元
- \(dv = rdr d\phi dz\)
- 坐标
- 适合坐标
- 被积函数：\(f(x,y,z)=\phi(z)g(\sqrt{x^2+y^2})\)
- 积分域：柱面、锥面
\(\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{1/\sqrt2} \mathrm{d}r\int_{r}^{\sqrt{1-r^2}} zr\mathrm{d} r\)
- 与直角坐标的关系
- 球坐标
- 与直角坐标的关系
- 坐标
- \(x=rsin\phi cos\theta\)
- \(y = rsin\phi sin\theta\)
- \(z=rcos\phi\)
- 体积微元
- \(dv = r^2sin\phi dr d\phi d\theta\)
- 坐标
- 适合坐标
- 被积函数：\(f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\)
- 积分域：球面、球壳、锥面
\(\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi/4} \mathrm{d}\phi\int_{0}^{1} r\cos\phi r^2\sin\phi\mathrm{d} r\)
- 与直角坐标的关系
- 先一后二
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🐋曲线积分
- 对弧长的线积分
- 简述：函数值 x 弧长微元，累加求和
- 计算方法
- 直接法
- 体积微元
- 参数方程：\(ds=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\)
- 直角坐标：\(ds=\sqrt{1+y'^2(x)}\)
- 极坐标：\(ds=\sqrt{r^2+r'^2}\)
- 积分域：从小到大【与方向无关，要求结果是正数】
- 体积微元
- 奇偶性【x轴、y轴】
- 对称性【直线y=x】
- 直接法
- 对坐标的线积分
- 简述：函数值 x 有向线段的投影，累加求和
- 计算方法
- 直接法
- 被积函数：代入直角坐标，或极坐标、参数方程
- 积分域：从起点到终点【与方向有关，逆时针为正向】
- 格林公式
- 要求
- 闭区域由分段光滑曲线围成
- 被积函数在积分域上有一节连续偏导数
- 作用：平面坐标的线积分转化为二重积分
- 要求
图源：格林公式 - 搜狗百科
- 斯托克斯公式
- 要求
- 闭区域由空间分段光滑曲线围成，方向符合右手法则
- 被积函数在积分域上有一节连续偏导数
- 作用：空间坐标的线积分转化为二重积分
- 要求
- 直接法
- 方法选择
- 曲线L是否封闭？
- 是：格林【平面】/ 斯托克斯【空间】
- 否：是否与路径无关？
- 是
- 改换路径【一般选择平行坐标轴】
- 寻找原函数【偏积分、凑微分】
- 否
- 直接法【注意方向】
- 补线使用公式
- 是
- 曲线L是否封闭？
- 两类线积分的关系
- 对弧长的线积分 x 曲线在切线方向的余弦 = 对坐标的线积分
图源：多元微积分—— 知乎
- 对弧长的线积分
-
🐋曲面积分
- 对面积的面积分
- 简述：函数值 x 面积微元，累加求和
- 计算方法
- 直接法
- 体积微元：\(ds=\sqrt{1+(z_x')^2+(z_y')^2}\)
- 积分域：从小到大【与方向无关，要求结果是正数】
- 奇偶性【x轴、y轴】
- 轮换对称性
- 直接法
- 对坐标的面积分
- 简述：函数值 x 有向投影域面积，累加求和
- 计算方法
- 直接法
- 被积函数：代入直角坐标\(y=f(x)\)，或极坐标、参数方程
- 积分域：从起点到终点【与方向有关，上、前、右侧为正向】
- 高斯公式
- 要求
- 闭区域由分段光滑曲线围成
- 被积函数在积分域上有一节连续偏导数
- 作用：空间坐标的面积分转化为三重积分
- 要求
图源：高斯公式 - Bing
- 直接法
- 方法选择
- 曲面是否封闭且不存在奇点？
- 是：高斯公式
- 否
- 直接法【注意方向】
- 补面【不封闭】或作辅助面【存在奇点】使用公式
- 曲面是否封闭且不存在奇点？
- 两类面积分的关系
- 对面积的面积分 x 曲面在切线方向的余弦 = 对坐标的面积分
- 对面积的面积分
-
🐋多元积分应用
- 概要
- 平板面【二重积分】
- 面积
- 被积函数：1
- 质量
- 被积函数：\(\rho(x,y)\)
- 质心
- 被积函数：\(\frac{x\rho(x,y)}{\rho(x,y)}\)
- 转动惯量
- 被积函数：\(y^2\rho(x,y)\)【对y轴】
- 面积
- 推广
- 空间体【三重积分】
- 曲线【一型线积分】
- 曲面【一型面积分】
- 变力做功【二型线积分】
- 通量【二型面积分】
- 平板面【二重积分】
- 题型
- 形心
- 质心
- 变力做功
- 概要
-
-
🐳场论初步
- 方向导数：函数在某点对指定方向求导的结果
- 梯度：函数在这点方向导数最大的方向
- 散度：向量场在某点吸收或散发通量的大小
- 旋度：向量场对某点微元造成的旋转程度
详见大佬博文【我实在是打不动公式了...🫠】微积分-13.场论初步 - 知乎 (zhihu.com)
🔚结语
😶🌫️博文到此结束，写得模糊或者有误之处，欢迎小伙伴留言讨论与批评，督促博主优化内容~
🌟博文若有帮助，欢迎小伙伴动动可爱的小手默默给个赞支持一下，博主肝文的动力++~
🌸博主可能会佛系更新思维导图，在这里：
高等数学_梅头脑_的博客-CSDN博客
https://blog.csdn.net/weixin_42789937/category_12380893.html -
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- 原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_42789937/article/details/133804212
