LeetCode 面试题 08.11. 硬币

一、题目

  硬币。给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)

示例1:

输入: n = 5
输出： 2
解释: 有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1

示例2:

输入: n = 10
输出： 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

说明：

• 0 <= n (总金额) <= 1000000

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二、C# 题解

2.1 数学解法

  使用数学方法解答，将 n 看作是 25、10、5 和 1 的组合，即 n = 25a + 10b + 5c + d。因为给定 n 后，d 由 a、b、c 决定，因此仅讨论 a、b、c 之间的关系即可。

  将 a、b、c 降序排列，其关系如下所示：

• 给定 a 不动，讨论 b 和 c 的组合数。

  • b 不动，c 依次递减（每次 c 减 1，少的面值加到了 d 上，即 d += 5），共 c + 1 种。
  • b 减 1，则 c += 2，共 c + 3 种。
  • b 减 2，则 c += 4，共 c + 5 种。
  • …
  • 直至 b 减为 0，此时 c + b * 2，共 c + b * 2 + 1种。

  共计 (b + 1)(b + c +1) 种。

• a 减 1，则多出 25 分，总面值为 25 + 10b + 5c。由 b、c 重新降序排列，即10b’ + 5c’ = 25 + 10b + 5c，解得 b’ = b + (5 + c) / 2，c’ = (c + 5) % 2。

public class Solution {
    public int WaysToChange(int n) {
        int a = n / 25, b = n % 25 / 10, c = n % 25 % 10 / 5;
        return (int)Partition(a, b, c);
    }

    public long Partition(int a, int b, int c) {
        if (a < 0) return 0;
        long n = (b + 1L) * (b + c + 1L) % 1000000007; // 使用 1L 进行 long 运算防止结果溢出
        return (Partition(a - 1, b + (c + 5) / 2, (c + 5) % 2) + n) % 1000000007;
    }
}
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• 时间：24 ms，击败 100.00% 使用 C# 的用户
• 内存：27.60 MB，击败 57.14% 使用 C# 的用户

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2.2 动态规划

  使用动态规划解答，记 f(i,j) 表示用前 i 种硬币构成面值 j 的种类数，因此有

$$f(i,j)=f(i-1,j)+f(i-1,j-c_i)+f(i-1,j-2\cdot c_i)+\cdots +f(i-1,j-k\cdot c_i)$$

  其中，c_i 表示第 i 种硬币的面值，k = j / c_i。

进行优化：

• 时间复杂度：通过上式可以看出，$f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-c_i)$，避免了多一层的遍历
• 空间复杂度：由于上式为递推式，仅和 i、i - 1 有关，类似斐波那契数列的求解，只需要一个一维数组存储数据即可，数组内容不断更新 $1、2、\cdots 、i$ 对应的值。

  事实上，动态规划的解法思想和数学解法很类似，即 $c_1,c_2,c_3,c_4$ 对应于数学解法的 $d,c,b,a$。

public class Solution {
    public int WaysToChange(int n) {
        int[] coins = { 1, 5, 10, 25 };
        int[] f     = new int[n + 1];
        f[0] = 1;
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        for (int j = coins[i]; j < n + 1; j++) {
            f[j] += f[j - coins[i]];
            f[j] %= 1000000007;
        }
        return f[n];
    }
}
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  说明：f[j] += f[j - coins[i]] 为化简写法，即 f[j] = f[j] + f[j - coins[i]]，对应于 $f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-c_i)$。

• 时间：44 ms，击败 42.86% 使用 C# 的用户
• 内存：29.33 MB，击败 28.57% 使用 C# 的用户

  动态规划的方法没有数学解法快，这里的解释是：

• 动态规划为通解。即，coins 可以换成任意其他数组，更具有普遍性。
• 数学方法为特例。即，利用了 1、5、10、25 之间的数学关系（b 减 1，c += 2），相当于对特例进行特殊优化。