《3D 数学基础》几何检测-相交性检测

目录

1. 2D直线相交

2. 3D射线相交点

3. 射线和平面的交点

4. 3个平面的交点

5. 射线和圆或者球交点

6. 两个圆或者球是否相交

7. 球和平面的相交性检测

8. 射线和AABB的相交性（13.17）

9. 射线和三角形的相交性（13.16）

10. 两个AABB的相交性（也叫碰撞检测）

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1. 2D直线相交

直线方程，求交点(x,y)。

（1）分母不为0，则有唯一一个解；

（2）分母为0，则平行。

2. 3D射线相交点

其实是求t，知道相交点的t值，利用射线公式就知道相交点坐标。

3. 射线和平面的交点

把射线方程代入平面方程中，求出自变量t即可。

4. 3个平面的交点

 

交点p，以向量表示(x,y,z)。 

5. 射线和圆或者球交点

求射线参数t.

其中a是将e投影到d,这个向量的长度是a, 投影公式是a=e·d;     e=c-p0 

6. 两个圆或者球是否相交

（1）静态相交性

圆心距离d < r1+r2时，不相交；为避免求d是开方，一般使用d^2 < (r1+r2)^2. 

（2）动态相交性

两个球在分别移动d1和d2的过程中是否会相交的，如下，d1和d2是移动向量

 因为移动是相对的，所以可以将左边的球设置为静止的，右边的移动方向就变成d，如下。

 以c_m为原点，d为移动的方向向量，t为自变量的射线p(t) = c_m + td。变成了求射线自变量t值。

其r=r_s + r_m。

 

7. 球和平面的相交性检测

（1）静态相交性

平面公式: p·n = d，n是单位向量； 球：由半径r和球心初始位置c表示。

计算球心到平面的距离：dis = n·c - d

• dis >= r，球完全在平面的前面；
• dis<= -r，在平面的背面；
• 否则，球横跨平面（即相交）。

 （2）动态相交性

如果两个都在运动，则换成一个静止，一个做相对运动（如上面的两个圆或者球是否相交）

单位向量d指明方向，使用射线方程c+td记录球心运动轨迹。平面公式是p·n=d，n是单位向量。球心运动t时，会与平面相交。

交点是c - r n

后面几个较为复杂

8. 射线和AABB的相交性（13.17）

附录有实现

9. 射线和三角形的相交性（13.16）

书上有实现。

10. 两个AABB的相交性（也叫碰撞检测）

静止相交性检测是简单的，需要在每个维度上单独检测他们的相交性即可。

动态的很复杂。且实际情况中，很少有轴对齐于同一个坐标系空间中的。

参考：37.几何检测_哔哩哔哩_bilibili