Leetcode.2866 美丽塔 II

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Leetcode.2866 美丽塔 II rating : 2072

题目描述

给你一个长度为 $n$ 下标从 $0$ 开始的整数数组 $maxHeights$ 。

你的任务是在坐标轴上建 $n$ 座塔。第 $i$ 座塔的下标为 $i$ ，高度为 $heights[i]$ 。

如果以下条件满足，我们称这些塔是 美丽 的：

• $1\le heights[i]\le maxHeights[i]$
• $heights$ 是一个 山状 数组。

如果存在下标 $i$ 满足以下条件，那么我们称数组 $heights$ 是一个 山状 数组：

• 对于所有 $0<j\le i$ ，都有 $heights[j-1]\le heights[j]$
• 对于所有 $i\le k<n-1$ ，都有 $heights[k+1]\le heights[k]$

请你返回满足 美丽塔 要求的方案中，高度和的最大值 。

示例 1：

输入：maxHeights = [5,3,4,1,1]
输出：13
解释：和最大的美丽塔方案为 heights = [5,3,3,1,1] ，这是一个美丽塔方案，因为：

• 1 <= heights[i] <= maxHeights[i]
• heights 是个山状数组，峰值在 i = 0 处。
  13 是所有美丽塔方案中的最大高度和。

示例 2：

输入：maxHeights = [6,5,3,9,2,7]
输出：22
解释： 和最大的美丽塔方案为 heights = [3,3,3,9,2,2] ，这是一个美丽塔方案，因为：

• 1 <= heights[i] <= maxHeights[i]
• heights 是个山状数组，峰值在 i = 3 处。
  22 是所有美丽塔方案中的最大高度和。

示例 3：

输入：maxHeights = [3,2,5,5,2,3]
输出：18
解释：和最大的美丽塔方案为 heights = [2,2,5,5,2,2] ，这是一个美丽塔方案，因为：

• 1 <= heights[i] <= maxHeights[i]
• heights 是个山状数组，最大值在 i = 2 处。
  注意，在这个方案中，i = 3 也是一个峰值。 18 是所有美丽塔方案中的最大高度和。

提示：

• $1\le n=maxHeights\le 10^5$
• $1\le maxHeights[i]\le 10^9$

解法：单调栈 + 前后缀分解

我们定义 $pre$ 和 $suf$：

• 定义 $pre[i]$ 为 $[0,i]$，以 $nums[i]$ 为最大值的 前缀和；
• 定义 $suf[i]$ 为 $[i,n-1]$，以 $nums[i]$ 为最大值的 后缀和；

为了便于我们操作，我们将 $pre$ 和 $suf$ 都偏移一个长度，即 $pre$ 和 $suf$ 的长度都为 $n+1$。

举例 ：

对于 $maxHeights=[5,3,4,1,1]$，则它的 $pre$ 和 $suf$ 分别为：

• p r e = { 0 , 5 , 6 , 10 , 4 , 5 } pre = \{ 0,5,6,10,4,5\} pre={0,5,6,10,4,5}；
• s u f = { 13 , 8 , 6 , 2 , 1 , 0 } suf = \{13,8,6,2,1,0 \} suf={13,8,6,2,1,0}；

那么最大的美丽塔高度和为 m a x { p r e [ i ] + s u f [ i ] } ( 0 ≤ i ≤ n ) max\{ pre[i] + suf[i]\} \quad (0 \leq i \leq n) max{pre[i]+suf[i]}(0≤i≤n)

现在问题的关键在于如何求出 $pre$ 和 $suf$。

我们可以使用单调栈。

对于 $pre$ ，我们使用一个栈 $stk$，从小到大的记录元素下标 (从栈底到栈顶)。假设当前遍历到的元素为 $maxHeights[i]$，并且栈顶元素 大于等于 当前元素，即 $maxHeights[stk.top()]\ge maxHeights[i]$，那么我们就要不断地弹出栈顶元素。

上述操作完成之后，要么栈顶元素小于当前元素，即 $maxHeights[stk.top()]<maxHeights[i]$；要么此时栈为空。

我们就设 $j$ 为当前的栈顶元素，即 $j=stk.top()$；如果栈为空，就设置 $j=-1$。

那么此时 $(j,i]$ 这一区间的值都应该是 $maxHeights[i]$，总和就是 $sum=(i-j)\times maxHeights[i]$。

所以此时 $pre[i]=sum+pre[j]$。

对于求 $suf$ 也是同理。

时间复杂度：$O(n)$

C++代码：

using LL = long long;

class Solution {
public:
    long long maximumSumOfHeights(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<LL> pre(n + 1) , suf(n + 1);
        stack<int> stk{{-1}};

        for(int i = 0;i < n;i++){
            while(stk.size() > 1 && nums[stk.top()] >= nums[i]){
                stk.pop();
            }
            int j = stk.top();

            pre[i + 1] += (i - j) * 1LL * nums[i];
            pre[i + 1] += pre[j + 1];
            stk.push(i);
        }

        //清空栈
        while(!stk.empty()) stk.pop();

        stk.push(n);

        for(int i = n - 1;i >= 0;i--){
            while(stk.size() > 1 && nums[stk.top()] >= nums[i]){
                stk.pop();
            }
            int j = stk.top();
            suf[i] += (j - i) * 1LL * nums[i];
            suf[i] += suf[j];

            stk.push(i); 
        }

        LL ans = 0;
        for(int i = 0;i <= n;i++){
            ans = max(pre[i] + suf[i] , ans);
        }

        return ans;
    }
};
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