01背包详解

01背包总结

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背包可以不装满

题干：

Weight[N] , Value[N], backSize

解释：

有N件物品，重量存放在Weight[]数组中，价值存放在Value[]数组中。即第$i$件物品对应的重量为 $Weight[i]$ ,价值为 $Value[i]$

​ 在背包最多承受的重量为 $backSize$ 且 每件物品最多使用一次的情况下， 背包的最大价值是多少。

二维dp状态转移方程：

d p [ i ] [ k ] = max ⁡ { d p [ i − 1 ] [ k ] ( 前 i − 1 件物品放入背包 ) d p [ i − 1 ] [ k − W e i g h t [ i ] ] + V a l u e [ i ] ( 前 i 件物品放入背包 ) dp[i][k] = \max{

} dp[i][k]=max{dp[i−1][k]dp[i−1][k−Weight[i]]+Value[i]​(前i−1件物品放入背包)(前i件物品放入背包)​ 01背包二维状态转移方程

解释：

​ 乍一看方程会有些懵，我来解释一下$dp[i][k]$的含义

​ $i:将前i件物品放入背包$

​ $k:此时背包的容量为k$

​ $dp[i][k]:前i件物品在背包最大重量为k的情况下的最大价值$

接着看两个选项

​ $dp[i-1][k] : $ 根据上面的解释 不难带入理解：前(i-1)件物品在背包最大重量为k时的最大价值

​ $dp[i-1][k-Weight[i]]+Value[i]:$ Value[i] 是 选择了将第 i 件物品放入背包， 那么此时背包最多还能放 (k-Weight[i])这么重的物品，而这些物品我们需要在前(i-1)件物品中选择

那么能不能优化一下空间呢？当然可以。

优化二维dp：

在上面的例子中，每一行只跟上一行有关系,那么是否可以使用一维数组达到二维数组的效果呢?

哈哈答案当然是可以的。

假设 $dp$ 数组是一个长度为 $N+1$ 的一维数组(可以将这里的$dp$数组想象成上面二维数组 $dp[i][k]$ 中的任意一行)

我们呢知道：在更新$dp[m][n]$所在的一行时，在二维$dp[i][k]$中，与这行相关的只有 $dp[m-1][n]$所在的这一行，也就是 $dp[m][n]$ 的上一行。

具体见 01背包二维状态转移方程

所以 使用一维$dp[i]$ 来计算是完全可能的

那么 此时 如何解释 $dp[i]$ 呢？

$i:$ 背包最大重量为 $i$

$dp[i]:$ 在背包最大重量为 $i$ 的情况下的最大价值

一维dp状态转移方程：

d p [ k ] = max ⁡ { d p [ k ] ( 在不取第 i 件物品情况下的价值 ) V a l u e [ i ] + d p [ k − W e i g h t [ i ] ] ( 在取第 i 件物品情况下的价值 ) dp[k] = \max{

} dp[k]=max{dp[k]Value[i]+dp[k−Weight[i]]​(在不取第i件物品情况下的价值)(在取第i件物品情况下的价值)​ 01背包一维状态转移方程

一维dp 的重点在于遍历背包容量时的顺序

我们来看一个例子

std::vector<int> Weight = {2,2};
std::vector<int> Value = {3,5};
std::vector<int> dp(7,0);
1
2
3

遍历第一个物品

我们希望得到的 $dp$ 数组

遍历第二个物品

我们希望得到的 $dp$ 数组

假设我们已经遍历完了第一个物品 请记住现在 $dp$ 数组 的状态

此时 我们开始遍历第二个物品对应的 $dp$

遍历方式：

这时候我们有两种遍历方式 1. $从dp[0]\to dp[6]$ 2. $从dp[6]\to dp[0]$

我们来看一下有什么区别

注意： 下面是 遍历第二件物品的情况

1. $从dp[0]\to dp[6]$ 即 $k$ 从 0 $\to$ 6 ，得到下面的 $dp$数组

2. $从dp[6]\to dp[0]$即 $k$ 从 6 $\to$ 0 ，得到下面的 $dp$数组

发现按照 $从dp[0]\to dp[6]$ 这种遍历背包容量的方式得到的结果并不正确

分析一下原因：

在遍历时，我们覆盖了背包某一容量的值 ，而这一容量值在更新之后的值时需要使用，错误的值导致了错误的结果。

即 过早更新了 $dp[k-Weight[i]]$ 导致 了错误。

在上面的例子中 我们过早更新了 $dp[2]$ 的值 ，之后我们就丢失了 上一件物品 的数据，之后在更新 $dp[4]、dp[5]、dp[6]$ 时，都需要比较 $dp[2]$ 的值。但是此时$dp[2]$已经是本层的最大价值了，应该比较的是上一层的最大价值，这就导致了价值错误。

所以为了保证在更新较大背包容量的最大价值时，使用正确的数据，应该从背包容量较大处开始比较。

即采用 $从dp[n]\to dp[0]$

那么 dp[n] 即为所求。

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恰好装满：

如果要求是恰好装满，只需在初始化$dp$数组时，将 $dp[0]$ 初始化为 0，其余初始化为 $INT\_MIN$

std::vector<int> dp(n+1,INT_MIN);
dp[0] = 0;
1
2

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