Fourier变换的乘积定理及其详细证明过程

Fourier变换的乘积定理及其证明过程

Fourier变换的乘积定理是进行有关Fourier相关运算的有力工具。借助它，可以让有的频域乘积计算或时间域计算有效转化，避开复杂的基于定义的计算过程，使得计算过程快捷方便，本博文在此，对Fourier变换的乘积定理及其证明过程进行分析。

一、Fourier变换的乘积定理

若$F_1(\omega )=\mathcal{F}\left[f_1(t)\right],F_2(\omega )=\mathcal{F}\left[f_2(t)\right]$
则

∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) ‾ f 2 ( t ) d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( ω ) ‾ F 2 ( ω ) d ω , ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) f 2 ( t ) ‾ d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( ω ) F 2 ( ω ) ‾ d ω , } (5) \left.

\right\} \tag5 ∫−∞+∞​f1​(t)​f2​(t)dt=2π1​∫−∞+∞​F1​(ω)​F2​(ω)dω,∫−∞+∞​f1​(t)f2​(t)​dt=2π1​∫−∞+∞​F1​(ω)F2​(ω)​dω,​⎭ ⎬ ⎫​(5)
其中，$\overline{f_1(t)}$，$\overline{f_2(t)}$，$\overline{F_1(\omega )}$及$\overline{F_2(\omega )}$分别为$f_1(t)$，$f_2(t)$，$F_1(\omega )$及$F_2(\omega )$的共轭函数。

二、证明

(1)请证明： $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{f_1(t)}{f}_2(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{F_1(\omega )}{F}_2(\omega )\mathrm{d}\omega$$成立

证：

∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) ‾ f 2 ( t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) ‾ [ 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 2 ( ω ) e j ω t d ω ] d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 2 ( ω ) [ ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) ‾ e j ω t d t ] d ω   = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 2 ( ω ) [ ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) e − j ω t ‾ d t ] d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 2 ( ω ) [ ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) e − j ω t d t ‾ ] d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 2 ( ω ) F 1 ( ω ) ‾ d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( ω ) ‾ F 2 ( ω ) d ω

∫−∞+∞​f1​(t)​f2​(t)dt=∫−∞+∞​f1​(t)​[2π1​∫−∞+∞​F2​(ω)ejωtdω]dt=2π1​∫−∞+∞​F2​(ω)[∫−∞+∞​f1​(t)​ejωtdt]dω =2π1​∫−∞+∞​F2​(ω)[∫−∞+∞​f1​(t)e−jωt​dt]dω=2π1​∫−∞+∞​F2​(ω)[∫−∞+∞​f1​(t)e−jωtdt​]dω=2π1​∫−∞+∞​F2​(ω)F1​(ω)​dω=2π1​∫−∞+∞​F1​(ω)​F2​(ω)dω​

注解：在此处假定$F_1(\omega )$、$F_2(\omega )$在$(-\infty ,+\infty )$上绝对可积分，因此能够证明积分顺序可以交换。

（2）请证明$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(t)\overline{f_2(t)}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(\omega )\overline{F_2(\omega )}\mathrm{d}\omega$$成立。

证：

∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) f 2 ( t ) ‾ d t = ∫ − ∞ + ∞ [ 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( ω ) e j ω t d ω ] f 2 ( t ) ‾ d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( ω ) [ ∫ − ∞ + ∞ f 2 ( t ) ‾ e j ω t d t ] d ω    = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( ω ) [ ∫ − ∞ + ∞ f 2 ( t ) e − j ω t ‾ d t ] d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( ω ) [ ∫ − ∞ + ∞ f 2 ( t ) e − j ω t d t ‾ ] d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( ω ) F 2 ( ω ) ‾ d ω

∫−∞+∞​f1​(t)f2​(t)​dt=∫−∞+∞​[2π1​∫−∞+∞​F1​(ω)ejωtdω]f2​(t)​dt=2π1​∫−∞+∞​F1​(ω)[∫−∞+∞​f2​(t)​ejωtdt]dω=2π1​∫−∞+∞​F1​(ω)[∫−∞+∞​f2​(t)e−jωt​dt]dω=2π1​∫−∞+∞​F1​(ω)[∫−∞+∞​f2​(t)e−jωtdt​]dω=2π1​∫−∞+∞​F1​(ω)F2​(ω)​dω​

证毕.
注解：在此处假定$F_1(\omega )$、$F_2(\omega )$在$(-\infty ,+\infty )$上绝对可积分，因此能够证明积分顺序可以交换。

三、Fourier变换的乘积定理的推论

若$f_1(t)$，$f_2(t)$为实函数，则Fourier变换的乘积定理可写为:

$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(t)f_2(t)\mathrm{d}t \\ ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{f_1(t)}{f}_2(t)\mathrm{d}t \\ ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(t)\overline{f_2(t)}\mathrm{d}t \\ =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{F_1(\omega )}{F}_2(\omega )\mathrm{d}\omega \\ =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(\omega )\overline{F_2(\omega )}\mathrm{d}\omega \end{gathered}$$