viterbi算法

算法的由来：

    我们假设下面四个词：i | like | my | job ，每个词的概率  p(i) = p1 , p(like) = p2 , p(my) = p3 , p(job) = p4，这四个词有4的阶乘种组合，现在是要求解含有这四个词的句子，怎么排列每个词使得句子的概率是最大的，句子可能有i like my job, l like job my,I job like my,I my job like......等等

p(i|like)就是i|like这俩词我的排列是like i的概率，p(job|i like)就是i like job这样排列的概率，

我们是要求解包含有这四个词的句子的联合概率，使它最大。

    但是每个概率都是0-1之间的数，多次相乘以后小数位数过多，可能会超过inf溢出，所以我们对每个概率取对数，如果把每个词都看成一个独立事件，log p(i like my job) =  log p(i) + log p(like) + log p(my) + log p(job)，非独立事件log p(i like my job) =  log p(i) + log p(like|i) + log p(my|i like) + log p(job|i like my)，这样子不会出现小数位数溢出了，但是通过log函数性质我们知道，这几个log值都是负数，然后我们通过在前面取负号，即得到了一系列正数相加，-log p(i)  , -log p(like) , -log p(my) , -log p(job)就是我们需要带入程序去求解的数，维特比算法实际上是把每个词的条件概率看作图中的一条边，这样一个求最大概率问题，通过取对数加负号就转换成了一个求最短路的问题

假设p(like|i) = 0.7 ,p(my|i) = 0.3  ,p(job|i) = 0.1 ,p(my|like) = 0.8, p(job|like) = 0.2,

p(job|my)=0.75

联合概率:

P(x1,x2,x3,x4) = p(x1)p(x2|x1)p(x3|x1x2)p(x4|x1x2x3)
 

现在假设每个词的概率只和它前一个词有关,即p(i like my job)=p(i)*p(like|i)*p(my|like)*p(job|my)，，初始的每个词的概率可以给定，不管x1是选i 还是like还是my还是job，p(x1)都可以看作一个常数项，剩下的条件概率会标记为图的边，求最短路后乘个常数项p(x1)比较一下即可，所以核心还是求出最短路。

我理解的算法简化：

    再简化一下，把开始和结束的点都置为1个，共有m层，除第一层和最后一层只有1个点外，其他层可能有若干个不同的点，求从第一层的点到最后一层的最短路（每一层经过且只经过一个点，除第一层外，每一层所有点都和它前一层的所有点有边），如下图：

算法具体描述：

维特比算法：对起点到第 i层第j个点的最短路径，先求出起点到第i-1层每个点的最短路，对起点到第i-1层所有点的最短距离 加上 第i -1层所有点到第i层第j个点的距离之中 取一个最小值，即为起点到第i层第j个点的最短距离

如上图，层数和点都从0开始，我要求第0层第0个点到第3层第0个点的最短距离，我需要先知道 第0层第0个点到第2层第0个点的最短距离 和 第0层第0个点到第2层第1个点的最短距离，然后将这两个距离分别加上6 和 3（图上标的两个权重），之中取一个最小值，即得到第0层第0个点到第3层第0个点的最短距离。要求第0层第0个点到第2层第0个点的距离，需要先知道第0层第0个点到第1层第0,1,2个点的最短距离。。。。。。

所以不难看出，维特比算法是dp，这和迪杰斯特拉基于贪心的松弛思路是有本质区别的

我实现的思路：

我想用python实现，之前没用过python，可能写的比较笨拙，大佬看到不要笑，递推是很容易想到的，问题是在程序中该怎么存这种数据结构，本科阶段讲的邻接表和邻接矩阵我感觉都不太合适，邻接表不方便遍历查找，临界矩阵占空太大了，而且也难以体现一层一层传过来这种思路，所以综合考虑之下，我决定用一个列表里套二维数组的形式存这个图，e[i][j][k]表示第i-1层第k个点到第i层第j个点的权重（即第i层第j个点到它前面一层的第k个点的权重），dis[]数组表示第0层第0个点到遍历到当前层的所有点的最短路，path[]存的是路径

代码实现如下：

columnCnt指的是每一层的节点数量，disLen代表边的权重，dis代表从第0层第0个点到第i层的所有点的最短路径，当i取m的时候，即可得到起点到终点的最短路径，disTmp是暂时存储dis，如果直接滚动数组更新dis会影响下一次更新，因为每一层所有点都有到下一层所有点的边。

import numpy as np
def Viterbi(e,dis,m,columnCnt,inf,path):
    for i in range(1, m):
        disTmp = []
        for j in range(columnCnt[i]):
            minLen = inf
            for k in range(columnCnt[i - 1]):
                if e[i][j][k] + dis[k] < minLen:
                    minLen = e[i][j][k] + dis[k]
                    path[i - 1] = k
            disTmp.append(minLen)
        for j in range(columnCnt[i]):
            dis[j] = disTmp[j]
    print("最短路长度为：")
    print(dis[0])
    print("路径为：")
    for i in range(0, m):
        print(path[i])
 
if __name__ == '__main__':
    m = input()
    m = int(m)
    inf = 99999
    columnCnt = []
    dis = []
    path = []
 
    for i in range(0, m):
        num = input()
        num = int(num)
        columnCnt.append(num)
        path.append(0)
    dis = np.zeros(np.max(columnCnt))
    #print(dis)
    e = []
    e.append([])
    for i in range(0, m - 1):
        e.append([])
        for j in range(0, columnCnt[i + 1]):
            e[i + 1].append([])
            for k in range(0, columnCnt[i]):
                e[i + 1][j].append([])
                disLen = input()
                disLen = int(disLen)
                e[i + 1][j][k] = disLen
    #print(e)
    Viterbi(e, dis, m, columnCnt, inf, path)