• 数字三角形加强版题解（组合计数+快速幂+逆元）

    Description

    一个无限行的数字三角形，第 i 行有 i 个数。第一行的第一个数是 1 ，其他的数满足如下关系：如果用 F[i][j] 表示第 i 行的第 j 个数，那么 F[i][j]=A∗F[i−1][j]+B∗F[i−1][j−1] （不合法的下标的数为 0 ）。
当 A=2,B=3 时的数字三角形的前 5 行为：
1
2 3
4 12 9
8 36 54 27
16 96 216 216 81

现在有 T 次询问，求 A=a,B=b 时数字三角形的第 n 行第 m 个数的值模 10^9+9 的结果。

    Input

    第一行为一个整数 T 。
接下一共 T 行，每行四个整数 a,b,n,m

    Output

    一共 T 行，每行一个整数，表示那个位置上的数的值。

    Sample Input

    2
2 3 3 3
3 1 4 1

    Sample Output

    9
27

    Hint

    n,t<=1e5;1<=m<=n; 0<=a,b<=1e9;

    思路：

    看例子：

    1

    A B

    A^2 2*A*B B^2

    A^3 3*A^2*B 3*A*B^2 B^3

    我们可以看出答案是：\binom{n-1}{m-1}*{A}^{n-m}*{B}^{m-1}

    对于\binom{n-1}{m-1}\frac{(n-1)!}{(m-1)!*(n-m)!},分母我们利用费马小定理求逆元。

    代码：

    #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
    #include
    #include
    #include
    #include
    #include
    #include
    #include
    #include
    #include
    #include
    #include
    #include
    #include
    #include
    #include
    #include
    using namespace std;
    #define LL  long long
    const long long  mod = 1e9 + 9;
    const int N = 1e5 + 100;
    LL xia[N];
    LL quick(LL a, LL b, LL p)//根据a^(p-1)%p=1求a的逆元a^(p-2)%p；
    {
        LL res = 1;
        while (b)
        {
            if (b & 1) res = (res * a) % p;
            b >>= 1;
            a = (a * a) % p;
        }
        return res;
    }
    LL seek(LL x, LL y)
    {
        LL e = 1;
        while (y)
        {
            if (y & 1)
                e = e * x % mod;
            x = x * x % mod;
            y = y >> 1;
        }
        return e;
    }
    int main()
    {
        int T;
        LL a, b, n, m;
        xia[0] = 1;
        for (int i = 1; i <=1e5; i++)
            xia[i] = (xia[i-1] * i) % mod;
        scanf("%d", &T);
        while (T--)
        {
            LL ans = 1;
            scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &n, &m);
            ans = (ans*seek(a, n - m))%mod;
            ans = (ans*seek(b, m-1))%mod;
            ans = (ans * xia[n-1]) % mod;
                ans = (ans * quick(xia[m-1], mod - 2, mod)) % mod;
                ans= (ans * quick(xia[n-m], mod - 2, mod)) % mod;
                printf("%lld\n",(ans % mod + mod) % mod);
        }
        return 0;
    }
     

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/yusen_123/article/details/133691402