关系的性质（自反，反自反，对称，反对称，传递）

自反

若∀a∈A，必有∈R，则称R是自反的，（关系矩阵对角线都为1）。

 例：A={1,2,3}，R={<1,1,>,<2,2>,<3,3>

反自反

若∀a∈A，必有∉R，则称R是反自反的 

例：A={1,2,3}，R={<1,2,>,<1,3>,<2,1,>,<2,3>,<3,1>,<3,2>} 

对称

若∈R，必有∈R，则称R是对称的，（关系矩阵rij=rji，即为对称矩阵）

例： A={1,2,3}，R={<1,2>,<2,1>,<1,1>,<2,2>} R={<1,3>,<3,1,>,<2,3>,<3,2>}

反对称

若∈R，且a≠b，则∉R，则称R是反对称的（关系矩阵rij和rji不能同时为1，即关于对角线对称的元素不能同时为1）

 例： A={1,2,3}，R={<1,2>,<1,3>} R={<1,2>,<2,3>,<3,1>}

传递

若∈R、∈R，必有∈R，则称R是传递的

例： A={1,2,3}，R={<1,2>,<2,3>,<1,3>} 

试题 

给定A：{1,2,3,4}，考虑A上的关系R，若R={<1,3>，<1,4>，<2,3>，<2,4>，<3,4>，<4,4>}，则R是（ ）

A:自反的

B:对称的

C:传递的

D:反自反的

【答案】C

设集合A={a，b，c，d}，现有A上的二元关系R={，，，}，则A是（ ）

A:自反的

B:对称的

C:反对称的

D:传递的 

【答案】B

下列关于整数集合上的整除关系描述不正确的是（ ）

A:自反的

B:对称的

C:反对称的

D:传递的 

【答案】B，自反的、反对称的（2能整除4，4不能整除2）、传递的（2能整除4，4能整除8，2一定能整除8）

设R={<1,3>，<1,4>，<2,3>，<3,1>，<3,4>，<4,2>}是A={1,2,3,4}上的关系，说明R是否具有自反、反自反、对称、反对称性质。 

【答案】<1,1>,<2,2,>,<3,3>,<4,4>都∉R，所以R是反自反的，不是自反的

<1,4>∈R，<4,1>∉R，所以R不是对称的

<1,3>∈R，<3,1>∈R，所以R不是反对称的