AM@2个极限存在准则及其应用

abstract

• 2个极限存在准则及其应用

极限存在准则

夹逼准则

数列夹逼

• 若数列 {   x n   } \set{x_n} {xn​}, {   y n   } \set{y_n} {yn​}以及 {   z n   } \set{z_{n}} {zn​}满足下列条件
  • 从某项起(即,$\exists n_0\in \mathbb{N}$当$n>n_0$时),恒有$y_n⩽x_n⩽z_n$
  • $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$=$\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n$=$a$
• 则数列 {   x n   } \set{x_n} {xn​}的极限存在,且$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$

证明

• 因为$y_n\to a$,$z_n\to a$,所以根据数列极限的定义,$\forall ϵ>0$,$\exists N_1\in {\mathbb{N}}_{+}$,当$n>N_1$时有$|y_n-a|<ϵ$(1)
• 又$\exists N_2\in {\mathbb{N}}_{+}$,当$n>N_2$时有$|z_n-a|<ϵ$(2)
• 令 N = max ⁡ {   n 0 , N 1 , N 2   } N=\max\set{n_0,N_1,N_2} N=max{n0​,N1​,N2​},当$n>N$时,(1),(2)同时成立,分别化简得$a-ϵ<y_n<a+ϵ$;$a-ϵ<z_n<a+ϵ$
• 又因为$y_n⩽x_n⩽z_n$,所以$a-ϵ<y_n⩽x_n⩽z_n<a+ϵ$
• 即$|x_n-a|<ϵ$成立,从而$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$

函数夹逼

• 数列的夹逼准则可以推广到函数的极限

  • 若$x\in \mathring{U}(x_0)$(或$|x|>M$)时,$g(x)⩽f(x)⩽h(x)$

  • 并且$\underset{x\to \ast }{\lim }g(x)$=$\underset{x\to \ast }{\lim }h(x)=A$;(其中$x\to \ast$可以是$x\to x_0,x\to \infty$两种类型)

  • 则$\underset{x\to \ast }{\lim }g(x)$存在且等于$A$

单调有界数列必有极限准则

• 准则内容:单调有界数列必有极限准则

几何解释

• 本准则比夹逼准则显得简洁的多,但仍有丰富的内涵,可以从几何上直观地解释
• 从数轴上看,对应于单调数列的点$x_n$,随$n\to \infty$,$x_n$只可能向一个方向移动,所哟只有两种可能情形:
  1. 或者$x_n$验证数轴移向无穷远$(x_n\to \infty )$
  2. 或者$x_n$无限趋近于某一个定点$A$,即 {   x n   } \set{x_n} {xn​}趋近于一个极限
• 在数列有界的假定条件下,有界数列的点$x_n$都落在数轴的某个区间$[-M,M]$内,所以情形1不可能发生
• 从而这个数列趋近于某个极限值$A$,且$A\in [-M,M]$

数列有界性和敛散性

• 收敛的数列一定有界,但是有界的数列不一定收敛
• 但数列有界的同时还单调,则该数列一定收敛

重要极限

• 两个重要极限分别是经典的$0/0和1^{\infty }$型极限

  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$
  • $\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

例

• $a^n-b^n=(a-b)\sum _{i=1}^n{a}^{n-i}{b}^{i-1}$;令$S=\sum _{i=1}^n{a}^{n-i}{b}^{i-1}$(0),则$a^n-b^n$=$(a-b)S$

• 证明等价无穷小:$\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt[n]{x+1}-1$ $\sim$ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{n}$,即,要证明$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[n]{x+1}-1}{\frac{1}{n}x}=1$ (1)

• 我们令:

  • $a=\sqrt[n]{x+1}=(x+1{)}^{\frac{1}{n}}$
  • $b=1=1^{\frac{1}{n}}$
  • $c=\frac{x}{n}$

• 则$L$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a-b}{c}$

• 将上述$a,b,c$代入(0):$S$=$\sum _{i=1}^n({(x+1{)}^{\frac{1}{n}})}^{n-i}(1{)}^{i-1}$=$\sum _{i=1}^n(x+1{)}^{\frac{n-i}{n}}$

  • $\underset{x\to 0}{\lim }S=\underset{x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n(x+1{)}^{\frac{n-i}{n}}$=$\sum _{i=1}^n\underset{x\to 0}{\lim }(x+1{)}^{\frac{n-i}{n}}$=${\sum }_{i=1}^{n}1$=$n$
  • $N=(a-b)S$=$a^n-b^n$=$(x+1)-1$=$x$,
  • $D=cS=\frac{1}{n}x\cdot S$;

• 此时:$L$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(a-b)S}{cS}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\frac{1}{n}xS}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{n}{S}$=$\frac{\underset{x\to 0}{\lim }n}{\underset{x\to 0}{\lim }S}$=$1$

• 从而(1)成立