EM@三角恒等变换P1

abstract

• 常用的三角恒等变换

三角恒等式

• 不同的三角函数之间存在很多对任意的角度取值都成立的等式，被称为三角恒等式。
• 其中最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是1;这可从斜边为1的直角三角形应用勾股定理得出。

毕达哥拉斯恒等式

• ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

衍生恒等式

• 两边同除以${\sin }^{2}x$:$1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$
• 两边同除以${\cos }^{2}x$,${\tan }^{2}x+1={\sec }^{2}x$

和差公式

• $\cos (x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$,记为$C_{x\pm y}$
• $\sin (x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$,记为$S_{x\pm y}$
• $\tan (x\pm y)$=$\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}$,记为$T_{x\pm y}$

推导

和角余弦

• 以和角余弦展开公式为例,用平面向量和单位圆为工具推导
• 以直角坐标系$xOy$的坐标原点为中心作单位圆;并以$Ox$为始边作两个角$x,y$;它们的终边分别于单位圆交于$P,Q$两点
• 显然$P(\cos x,\sin x)$,$Q(\cos y,\sin y)$;$|\overrightarrow{OP}|$=$|\overrightarrow{OQ}|$=$1$
• 令向量夹角$\theta =<\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OP}>$,$(\theta \in [0,\pi ))$
• 角$x-y$=$\pm \theta +2k\pi$,$(k\in \mathbb{Z})$
  • 若$x>y$,则$x-y=\theta +2k\pi$
  • 若$x<y$,则$x-y=-\theta +2k\pi$
  • $\cos (x-y)$=$\cos (\pm \theta +2k\pi )$=$\cos (\pm \theta )$=$\cos \theta$
• 因为$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$=$(\cos x,\sin x)\cdot (\cos y,\sin y)$=$\cos x\cos y+\sin x\sin y$
• 另一方面$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$=$|\overrightarrow{OP}|\cdot |\overrightarrow{OQ}|\cos \theta$=$\cos \theta$
• 从而$\cos (x-y)$=$\cos x\cos y+\sin x\sin y$

差角余弦

• 差角余弦:差角余弦可以转换为和角余弦:$\cos (x+y)$=$\cos (x-(-y))$=$\cos x\cos y-\sin x\sin y$

和角正弦

• 由于正弦函数和余弦函数具有高度联系,这体现在由诱导公式$\sin x=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$,
• 从而可以将正弦问题转化为余弦问题
• $\sin (x+y)$=$\cos (-(x+y)+\frac{\pi }{2})$=$\cos ((\frac{\pi }{2}-x)-y)$=$\cos (\frac{\pi }{2}-x)\cos y+\sin (\frac{\pi }{2}-x)\sin y$=$\sin x\cos y+\cos x\sin y$

差角正弦

• $\sin (x-y)$=$\sin (x+(-y))$=$\sin x\cos (-y)+\cos x\sin (-y)$=$\sin x\cos y-\cos x\sin y$

和角正切

• $\tan (x+y)$=$\frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)}$=$\frac{\sin x\cos y+\cos x\sin y}{\cos x\cos y-\sin x\cos y}$
• 分子分母同时除以$\cos x\cos y\ne 0$,得$\tan (x+y)$=$\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$

差角正切

• $\tan (x-y)$=$\tan (x+(-y))$=$\frac{\tan x+\tan (-y)}{1-\tan x\tan (-y)}$=$\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}$

倍角公式

• $\sin 2x=2\sin x\cos x=\frac{2\tan x}{1+{\tan }^{2}x}$,记为$S_{2x}$

• $\cos 2x$=${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$=$2{\cos }^{2}x-1$=$1-2{\sin }^{2}x$=$\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}$,记为$C_{2x}$

  • 比较常用的是:$-2{\sin }^{2}x+1$=$2{\cos }^{2}x-1$
  • 比较少用的是:${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

• $\tan 2x$=$\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$,记为$T_{2x}$

• 令 $t=\tan \frac{1}{2}\theta$

  • $\sin \theta =\frac{2t}{1+t^2}$
  • $\cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}$
  • $\tan \theta =\frac{2t}{1-t^2}$

半角公式

半角公式结果是唯一的,由$\frac{x}{2}$所在象限决定正负候选值中的一个

• $\cos \frac{x}{2}$=$\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$

• $\sin \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$

• $\tan \frac{x}{2}$=$\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$

推导

• $\cos x=\cos (2\times \frac{x}{2})$=$1-2{\sin }^2\frac{x}{2}$=$2{\cos }^2\frac{x}{2}-1$
• 所以
  • $2{\sin }^2\frac{x}{2}=1-\cos x$
  • $2{\cos }^2\frac{x}{2}=1+\cos x$
• 上述方程移项开方得到$\cos \frac{x}{2}$,$\sin \frac{x}{2}$;且$\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$

降幂公式🎈

• ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$
• ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)$
• ${\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}(1-\cos x)$
• ${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}(1+\cos x)$

和差化积@积化和差

• EM@三角恒等变换@积化和差@和差化积

三角恒等公式推导流程

• 向量的数量积$\to$ $C_{\alpha -\beta }$

  • $S_{\alpha +\beta }$ $\to$ $S_{2\alpha }$ ,$S_{\alpha -\beta }$
  • $C_{\alpha +\beta }$ $\to$ $C_{2\alpha }$ $\to$ $C_{\frac{\alpha }{2}}$,$S_{\frac{\alpha }{2}}$ $\to$ $T_{\frac{\alpha }{2}}$
  • $S_{\alpha +\beta },C_{\alpha +\beta }$ $\to$ $T_{\alpha +\beta }$ $\to$ $T_{2\alpha }$,$T_{\alpha -\beta }$

• 积化和差$\to$和差化积